cứu vơi shepepepe 3.2. Đơn giản các biểu thức sau:,$a)~\sin100^0+\sin80^0+\cos16^0+\cos164^0;$,$b)~2\sin(180^0-\alpha).\cot\alpha-\cos(180^0-\alpha). an\alpha.\cot(180^0-\alpha),$ với $0^0

Question

cứu vơi shepepepe 3.2. Đơn giản các biểu thức sau:,$a)~\sin100^0+\sin80^0+\cos16^0+\cos164^0;$,$b)~2\sin(180^0-\alpha).\cot\alpha-\cos(180^0-\alpha).	an\alpha.\cot(180^0-\alpha),$ với $0^0<\alpha<90^0$,3.3. Chứng minh các hệ thức sau:,$a)~\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1;$,$b)~1+	an^2\alpha=\frac1{\cos^2\alpha}~(\alpha
e90^0);$,$c)~1+\cot^2\alpha=\frac1{\sin^2\alpha}~(0^0<\alpha<180^0).$

Accepted Answer

Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán một cách chi tiết.

Bài 3.2: Đơn giản các biểu thức

a) $\sin100^0+\sin80^0+\cos16^0+\cos164^0$

Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản:

- $\sin(180^0 - x) = \sin x$
- $\cos(180^0 - x) = -\cos x$

Áp dụng vào biểu thức:

- $\sin100^0 = \sin(180^0 - 80^0) = \sin80^0$
- $\cos164^0 = \cos(180^0 - 16^0) = -\cos16^0$

Thay vào biểu thức ban đầu:

$$
\sin100^0 + \sin80^0 + \cos16^0 + \cos164^0 = \sin80^0 + \sin80^0 + \cos16^0 - \cos16^0
$$

Biểu thức này đơn giản thành:

$$
2\sin80^0
$$

b) $2\sin(180^0-\alpha)\cdot\cot\alpha-\cos(180^0-\alpha)\cdot\tan\alpha\cdot\cot(180^0-\alpha)$

Sử dụng các công thức lượng giác:

- $\sin(180^0 - \alpha) = \sin\alpha$
- $\cos(180^0 - \alpha) = -\cos\alpha$
- $\cot(180^0 - \alpha) = -\cot\alpha$

Thay vào biểu thức:

$$
2\sin\alpha\cdot\cot\alpha - (-\cos\alpha)\cdot\tan\alpha\cdot(-\cot\alpha)
$$

Biểu thức này trở thành:

$$
2\sin\alpha\cdot\cot\alpha + \cos\alpha\cdot\tan\alpha\cdot\cot\alpha
$$

Sử dụng $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ và $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$:

$$
2\sin\alpha\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} + \cos\alpha\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}
$$

Biểu thức này đơn giản thành:

$$
2\cos\alpha + \cos\alpha = 3\cos\alpha
$$

Bài 3.3: Chứng minh các hệ thức

a) $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

Đây là một trong những đẳng thức lượng giác cơ bản, được chứng minh từ định nghĩa của sin và cos trên đường tròn đơn vị. Trên đường tròn đơn vị, với một góc $\alpha$, tọa độ điểm tương ứng là $(\cos\alpha, \sin\alpha)$, và theo định lý Pythagore:

$$
\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1
$$

b) $1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$

Sử dụng định nghĩa của $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$:

$$
\tan^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}
$$

Thay vào biểu thức cần chứng minh:

$$
1 + \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{\cos^2\alpha}
$$

c) $1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$

Sử dụng định nghĩa của $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$:

$$
\cot^2\alpha = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}
$$

Thay vào biểu thức cần chứng minh:

$$
1 + \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{1}{\sin^2\alpha}
$$

Vậy, các hệ thức đã được chứng minh.