1 người đứng tại điểm A cách đường quốc lộ 100m nhìn thấy ô tô cách điểm A 800m thì người đấy chạy ra đường quốc lộ để đón o tô biết ràng ô tô chuyển động 15m/s. cho tốc độ của người ấy 6m/s hãy xác đị...

Bài toán cho: - Người đứng tại điểm A, cách đường quốc lộ 100m. - Ô tô cách điểm A 800m. - Tốc độ ô tô: \(v_o = 15 \, m/s\). - Tốc độ người: \(v_p = 6 \, m/s\). Mục tiêu: Xác định hướng chạy của người để gặp ô tô đúng lúc ô tô vừa đến đường quốc lộ. --- **Phân tích bài toán:** Giả sử: - Đường quốc lộ là một đường thẳng. - Điểm A cách đường quốc lộ 100m, tức người đứng tại điểm A nằm trên đường vuông góc với quốc lộ. - Ô tô cách điểm A 800m theo chiều dọc dọc đường quốc lộ, tức ô tô đang trên đường quốc lộ cách điểm gần nhất với A là 800m. Ký hiệu: - Điểm A: tại vị trí (0, 100) (tọa độ theo hệ trục Oxy, Ox trùng đường quốc lộ, Oy vuông góc với quốc lộ). - Đường quốc lộ là trục Ox (y=0). - Ô tô lúc đầu ở điểm \(O_0 = (800, 0)\). - Người đứng tại \(P_0 = (0, 100)\). Ô tô chuyển động trên đường quốc lộ từ vị trí (800, 0) về phía \(x=0\) với vận tốc 15 m/s (giả sử chuyển động theo chiều giảm dần x, tức hướng về đường quốc lộ gần điểm A). --- **Xác định vị trí gặp gỡ:** Người muốn chạy từ \(P_0=(0,100)\) ra đường quốc lộ, đón ô tô. Giả sử người chạy theo hướng hợp với trục Ox một góc \(\theta\), tức vector vận tốc của người là: \[ \vec{v_p} = v_p(\cos \theta, -\sin \theta) \] vì người phải chạy từ y=100 xuống y=0 nên thành phần y vận tốc phải là \(-v_p \sin \theta < 0\). Thời gian người chạy ra đến đường quốc lộ là: \[ t = \frac{100}{v_p \sin \theta} \] Lúc gặp ô tô, tọa độ của người là: \[ (x_p, y_p) = (v_p \cos \theta \cdot t, 0) \] Vì người vừa đến quốc lộ, nên \(y_p=0\). --- **Tọa độ ô tô tại thời điểm gặp:** Ô tô di chuyển với vận tốc 15 m/s theo trục Ox từ vị trí \(x=800\) về phía 0, tức tọa độ ô tô tại thời điểm t là: \[ x_o = 800 - v_o t = 800 - 15 t \] --- **Điều kiện gặp nhau:** Hai người gặp nhau khi tọa độ \(x_p = x_o\), tức: \[ v_p \cos \theta \cdot t = 800 - 15 t \] Thay \(t = \frac{100}{v_p \sin \theta}\): \[ v_p \cos \theta \cdot \frac{100}{v_p \sin \theta} = 800 - 15 \cdot \frac{100}{v_p \sin \theta} \] Rút gọn: \[ 100 \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = 800 - \frac{1500}{\sin \theta} \] Gọi \(\sin \theta = s\), \(\cos \theta = c\), ta có: \[ 100 \frac{c}{s} = 800 - \frac{1500}{s} \] Nhân hai vế với \(s\): \[ 100 c = 800 s - 1500 \] Nhớ rằng \(c^2 + s^2 = 1\), ta có hệ: \[ \begin{cases} 100 c = 800 s - 1500 \\ c^2 + s^2 = 1 \end{cases} \] Thay \(c = \frac{800 s - 1500}{100}\): \[ \left( \frac{800 s - 1500}{100} \right)^2 + s^2 = 1 \] \[ \frac{(800 s - 1500)^2}{10000} + s^2 = 1 \] \[ (800 s - 1500)^2 + 10000 s^2 = 10000 \] Phân tích: \[ (800 s - 1500)^2 = 640000 s^2 - 2 \times 800 \times 1500 s + 1500^2 = 640000 s^2 - 2,400,000 s + 2,250,000 \] Thay vào: \[ 640000 s^2 - 2,400,000 s + 2,250,000 + 10000 s^2 = 10000 \] \[ 650000 s^2 - 2,400,000 s + 2,250,000 - 10000 = 0 \] \[ 650000 s^2 - 2,400,000 s + 2,240,000 = 0 \] Chia cả phương trình cho 1000 cho đơn giản: \[ 650 s^2 - 2400 s + 2240 = 0 \] --- **Giải phương trình bậc hai:** \[ 650 s^2 - 2400 s + 2240 = 0 \] Tính \(\Delta\): \[ \Delta = (-2400)^2 - 4 \times 650 \times 2240 = 5,760,000 - 5,824,000 = -64,000 < 0 \] Phương trình vô nghiệm thực. --- **Kết luận tạm thời:** Phương trình vô nghiệm, tức không tồn tại \(\theta\) để người vừa đến quốc lộ gặp ô tô đúng lúc ô tô vừa đến điểm quốc lộ gần A. --- **Xem xét lại hướng chuyển động ô tô:** Có thể ô tô đang chạy ra xa khỏi điểm gần A trên quốc lộ (tăng dần x), thử giả sử ô tô chuyển động chiều \(x\) tăng, vận tốc 15 m/s. Thời gian gặp: \[ x_p = v_p \cos \theta \cdot t \] \[ x_o = 800 + 15 t \] và \(t = \frac{100}{v_p \sin \theta}\) Điều kiện gặp: \[ v_p \cos \theta \cdot t = 800 + 15 t \] Thay \(t\): \[ v_p \cos \theta \cdot \frac{100}{v_p \sin \theta} = 800 + 15 \cdot \frac{100}{v_p \sin \theta} \] \[ 100 \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = 800 + \frac{1500}{\sin \theta} \] Nhân hai vế với \(s = \sin \theta\): \[ 100 c = 800 s + 1500 \] Thay \(c = \frac{800 s + 1500}{100}\): \[ \left( \frac{800 s + 1500}{100} \right)^2 + s^2 = 1 \] \[ (800 s + 1500)^2 + 10000 s^2 = 10000 \] \[ 640000 s^2 + 2,400,000 s + 2,250,000 + 10000 s^2 = 10000 \] \[ 650000 s^2 + 2,400,000 s + 2,250,000 - 10000 = 0 \] \[ 650000 s^2 + 2,400,000 s + 2,240,000 = 0 \] Chia 1000: \[ 650 s^2 + 2400 s + 2240 = 0 \] Tính \(\Delta\): \[ \Delta = 2400^2 - 4 \times 650 \times 2240 = 5,760,000 - 5,824,000 = -64,000 < 0 \] Vẫn vô nghiệm. --- **Nhận xét:** - Với vận tốc người 6 m/s chậm hơn ô tô 15 m/s, người không thể chạy theo hướng nào để đón ô tô đúng lúc ô tô đến đường quốc lộ gần điểm A. - Có thể người chỉ chạy trực tiếp ra điểm gần nhất trên quốc lộ (hướng vuông góc), lúc đó thời gian người chạy ra quốc lộ là: \[ t_p = \frac{100}{6} \approx 16.67 \, s \] - Trong thời gian đó, ô tô chạy được: \[ d = v_o t_p = 15 \times 16.67 = 250 \, m \] - Vị trí ô tô lúc đó: \[ x_o = 800 - 250 = 550 \, m \] - Người đứng tại \(x=0\), ô tô ở \(x=550\) trên quốc lộ, chưa gặp nhau. Nếu người chạy hướng xiên để bắt kịp ô tô trên quốc lộ thì vận tốc người phải đủ lớn hơn vận tốc ô tô theo hướng đó. --- **Tính toán hướng chạy để gặp ô tô tại quốc lộ:** Giả sử người chạy ra quốc lộ tại vị trí \(x\) (vị trí điểm trên quốc lộ mà người sẽ đến). Khoảng cách người đi từ \(P_0 = (0,100)\) đến điểm trên quốc lộ \((x, 0)\): \[ d_p = \sqrt{x^2 + 100^2} = \sqrt{x^2 + 10000} \] Thời gian người chạy: \[ t_p = \frac{d_p}{v_p} = \frac{\sqrt{x^2 + 10000}}{6} \] Thời gian ô tô chạy từ vị trí ban đầu \(x_o=800\) đến vị trí \(x\): \[ t_o = \frac{|800 - x|}{15} \] Yêu cầu gặp nhau cùng thời điểm: \[ t_p = t_o \] \[ \frac{\sqrt{x^2 + 10000}}{6} = \frac{|800 - x|}{15} \] Nhân hai vế với 30: \[ 5 \sqrt{x^2 + 10000} = 2 |800 - x| \] Bình phương hai vế: \[ 25 (x^2 + 10000) = 4 (800 - x)^2 \] \[ 25 x^2 + 250000 = 4 (640000 - 1600 x + x^2) \] \[ 25 x^2 + 250000 = 2560000 - 6400 x + 4 x^2 \] Chuyển vế: \[ 25 x^2 - 4 x^2 + 250000 - 2560000 + 6400 x = 0 \] \[ 21 x^2 + 6400 x - 2,310,000 = 0 \] --- **Giải phương trình bậc hai:** \[ 21 x^2 + 6400 x - 2,310,000 = 0 \] Tính \(\Delta\): \[ \Delta = 6400^2 - 4 \times 21 \times (-2,310,000) = 40,960,000 + 194,040,000 = 235,000,000 \] \[ x = \frac{-6400 \pm \sqrt{235,000,000}}{2 \times 21} = \frac{-6400 \pm 15,329}{42} \] - Trường hợp 1: \[ x = \frac{-6400 + 15329}{42} = \frac{8929}{42} \approx 212.6 \, m \] - Trường hợp 2: \[ x = \frac{-6400 - 15329}{42} = \frac{-21729}{42} \approx -517.4 \, m \] --- **Giải thích nghiệm:** - \(x = 212.6\) m: điểm trên quốc lộ cách điểm gần A khoảng 212.6 m về phía ô tô (giảm từ 800 m). - \(x = -517.4\) m: điểm trên quốc lộ về phía ngược lại (xa hơn điểm A). Ô tô di chuyển từ 800 về phía 0, gặp người tại \(x = 212.6\) m là hợp lý. --- **Tính thời gian gặp:** Thời gian gặp: \[ t = \frac{|800 - x|}{15} = \frac{800 - 212.6}{15} = \frac{587.4}{15} \approx 39.16 \, s \] Thời gian người chạy: \[ t = \frac{\sqrt{(212.6)^2 + 10000}}{6} = \frac{\sqrt{45200 + 10000}}{6} = \frac{\sqrt{55200}}{6} \approx \frac{234.9}{6} = 39.16 \, s \] --- **Hướng chạy của người:** \[ \cos \theta = \frac{x}{d_p} = \frac{212.6}{234.9} = 0.9056 \] \[ \sin \theta = \frac{100}{234.9} = 0.4258 \] Góc: \[ \theta = \arccos 0.9056 \approx 24.7^\circ \] --- **Kết luận:** - Người chạy theo hướng tạo góc khoảng 24.7° so với đường quốc lộ (trục Ox), hướng từ điểm A ra điểm cách A khoảng 212.6 m trên đường quốc lộ. - Thời gian gặp ô tô và đến đường quốc lộ là khoảng 39.16 giây. - Tốc độ người là 6 m/s, ô tô 15 m/s chạy từ vị trí 800 m về 0. --- # **Đáp án:** Người phải chạy theo hướng tạo với đường quốc lộ góc khoảng 24.7° (hướng từ điểm A về phía ô tô trên quốc lộ), với vận tốc 6 m/s, để gặp ô tô đúng lúc ô tô vừa đến vị trí cách điểm A khoảng 212.6 m trên quốc lộ, trong thời gian khoảng 39.16 giây.