làm đầy đủ và chi tiết giúp tôi nhưng mà ngắn gọn thôi

Câu 2: a) Tập xác định của hàm số: Hàm số \( f(x) = |\tan x| + |x^3 - 3x| \) bao gồm hai phần: \( |\tan x| \) và \( |x^3 - 3x| \). - Đối với \( |\tan x| \), hàm số \( \tan x \) không xác định tại \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \). Do đó, tập xác định của \( |\tan x| \) là \( \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\} \). - Đối với \( |x^3 - 3x| \), hàm số này xác định trên toàn bộ tập số thực \( \mathbb{R} \). Do đó, tập xác định của hàm số \( f(x) \) là giao của hai tập xác định trên, tức là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}. \] b) \( f(-\pi) = -f(\pi) \): Ta kiểm tra tính chất của hàm số \( f(x) \) tại \( x = -\pi \) và \( x = \pi \). - \( f(-\pi) = |\tan(-\pi)| + |(-\pi)^3 - 3(-\pi)| = |\tan(-\pi)| + |-\pi^3 + 3\pi| = 0 + |\pi^3 - 3\pi| = |\pi^3 - 3\pi|. \) - \( f(\pi) = |\tan(\pi)| + |\pi^3 - 3\pi| = 0 + |\pi^3 - 3\pi| = |\pi^3 - 3\pi|. \) Do đó, \( f(-\pi) = f(\pi) \), nên khẳng định \( f(-\pi) = -f(\pi) \) là sai. c) Hàm số đã cho đối xứng qua gốc tọa độ \( O(0;0) \): Để hàm số đối xứng qua gốc tọa độ, ta cần kiểm tra tính chất \( f(-x) = -f(x) \). - \( f(-x) = |\tan(-x)| + |(-x)^3 - 3(-x)| = |\tan(-x)| + |-x^3 + 3x| = |\tan x| + |x^3 - 3x|. \) - \( -f(x) = -(|\tan x| + |x^3 - 3x|) = -|\tan x| - |x^3 - 3x|. \) Do đó, \( f(-x) \neq -f(x) \), nên hàm số không đối xứng qua gốc tọa độ \( O(0;0) \). d) Hàm số đã cho là hàm số chẵn: Để hàm số là hàm số chẵn, ta cần kiểm tra tính chất \( f(-x) = f(x) \). - \( f(-x) = |\tan(-x)| + |(-x)^3 - 3(-x)| = |\tan x| + |x^3 - 3x|. \) - \( f(x) = |\tan x| + |x^3 - 3x|. \) Do đó, \( f(-x) = f(x) \), nên hàm số là hàm số chẵn. Tóm lại: a) Tập xác định của hàm số: \( D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\} \). b) \( f(-\pi) = f(\pi) \). c) Hàm số không đối xứng qua gốc tọa độ \( O(0;0) \). d) Hàm số đã cho là hàm số chẵn. Câu 3: a) Ta biết rằng \(-1 \leq \sin x \leq 1\). Nhân cả hai vế của bất đẳng thức này với 3, ta được: \[ -3 \leq 3\sin x \leq 3 \] Do đó, tập giá trị của hàm số \( y = 3\sin x \) là \( T = [-3; 3] \). b) Ta biết rằng \(-1 \leq \cos x \leq 1\). Nhân cả hai vế của bất đẳng thức này với 2, ta được: \[ -2 \leq 2\cos x \leq 2 \] Cộng thêm -1 vào mỗi vế của bất đẳng thức trên, ta có: \[ -3 \leq 2\cos x - 1 \leq 1 \] Do đó, tập giá trị của hàm số \( y = 2\cos x - 1 \) là \( T = [-3; 1] \). c) Ta biết rằng \(-1 \leq \cos x \leq 1\). Nhân cả hai vế của bất đẳng thức này với -4, ta được: \[ 4 \geq -4\cos x \geq -4 \] Cộng thêm 2030 vào mỗi vế của bất đẳng thức trên, ta có: \[ 2034 \geq 2030 - 4\cos x \geq 2026 \] Do đó, tập giá trị của hàm số \( y = 2030 - 4\cos x \) là \( T = [2026; 2034] \). d) Đặt \( t = \sin x \), ta có \( -1 \leq t \leq 1 \). Xét hàm số \( f(t) = t^2 + 4t - 1 \) trên đoạn \([-1; 1]\): - Tại \( t = -1 \), \( f(-1) = (-1)^2 + 4(-1) - 1 = 1 - 4 - 1 = -4 \) - Tại \( t = 1 \), \( f(1) = (1)^2 + 4(1) - 1 = 1 + 4 - 1 = 4 \) Xét đạo hàm \( f'(t) = 2t + 4 \). Đặt \( f'(t) = 0 \), ta có: \[ 2t + 4 = 0 \implies t = -2 \] Giá trị này không nằm trong khoảng \([-1; 1]\), nên không cần xét tiếp. Do đó, tập giá trị của hàm số \( y = \sin^2 x + 4\sin x - 1 \) là \( T = [-4; 4] \). Câu 4: Để giải quyết các yêu cầu của bài toán, ta sẽ phân tích từng phần một cách chi tiết. a) Tập xác định của hàm số \( f(x) = \tan x \) Hàm số \( f(x) = \tan x \) có tập xác định là tất cả các giá trị của \( x \) sao cho \(\tan x\) xác định. Ta biết rằng \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\), do đó \(\tan x\) không xác định khi \(\cos x = 0\). Phương trình \(\cos x = 0\) có nghiệm là \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\), với \(k \in \mathbb{Z}\). Vậy tập xác định của hàm số \( f(x) = \tan x \) là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}. \] b) Hàm số \( f(x) = \tan x \) là hàm tuần hoàn Hàm số \( f(x) = \tan x \) là hàm tuần hoàn với chu kỳ cơ bản là \(\pi\). Điều này có nghĩa là: \[ \tan(x + \pi) = \tan x \] cho mọi \( x \) thuộc tập xác định của hàm số. Do đó, khẳng định "Hàm số \( f(x) \) là hàm không tuần hoàn" là sai. c) Tập xác định của hàm số \( g(x) = \cot^2 x - \frac{\sin 2x}{2} \times x \) Hàm số \( g(x) \) có chứa \(\cot x\) và \(\sin 2x\). Ta cần tìm điều kiện xác định cho từng phần: 1. \(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\) không xác định khi \(\sin x = 0\). Phương trình \(\sin x = 0\) có nghiệm là \(x = k\pi\), với \(k \in \mathbb{Z}\). 2. \(\sin 2x\) xác định với mọi \(x\), không có điều kiện gì thêm. Vậy tập xác định của hàm số \( g(x) \) là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{ k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \}. \] d) Hàm số \( g(x) \) là hàm tuần hoàn Để xác định tính tuần hoàn của hàm số \( g(x) \), ta cần xem xét các thành phần của nó: - \(\cot^2 x\) là hàm tuần hoàn với chu kỳ \(\pi\). - \(\frac{\sin 2x}{2} \times x\) không phải là hàm tuần hoàn vì phần \(x\) không có tính tuần hoàn. Do đó, hàm số \( g(x) \) không phải là hàm tuần hoàn. Tóm lại: - a) Tập xác định của \( f(x) = \tan x \) là \( D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \). - b) Hàm số \( f(x) = \tan x \) là hàm tuần hoàn. - c) Tập xác định của \( g(x) \) là \( D = \mathbb{R} \setminus \{ k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \). - d) Hàm số \( g(x) \) không phải là hàm tuần hoàn. Câu 1: Để tìm tập giá trị của hàm số \( y = \sin^6 x + \cos^6 x \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Biến đổi biểu thức: Ta biết rằng: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Ta sẽ biến đổi \( \sin^6 x + \cos^6 x \) bằng cách sử dụng hằng đẳng thức: \[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \] Áp dụng vào \( \sin^6 x + \cos^6 x \): \[ \sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3 \] \[ = (\sin^2 x + \cos^2 x)((\sin^2 x)^2 - \sin^2 x \cos^2 x + (\cos^2 x)^2) \] \[ = 1 \cdot (\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x) \] \[ = \sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x \] 2. Sử dụng hằng đẳng thức khác: Ta biết rằng: \[ (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 = \sin^4 x + 2 \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x \] Suy ra: \[ 1 = \sin^4 x + 2 \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x \] Do đó: \[ \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x \] Thay vào biểu thức trên: \[ \sin^6 x + \cos^6 x = (1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x) - \sin^2 x \cos^2 x \] \[ = 1 - 3 \sin^2 x \cos^2 x \] 3. Xác định giá trị của \( \sin^2 x \cos^2 x \): Ta biết rằng: \[ \sin^2 x \cos^2 x = \left( \frac{\sin 2x}{2} \right)^2 = \frac{\sin^2 2x}{4} \] Vì \( \sin^2 2x \) nằm trong khoảng \([0, 1]\), nên: \[ 0 \leq \frac{\sin^2 2x}{4} \leq \frac{1}{4} \] Do đó: \[ 0 \leq \sin^2 x \cos^2 x \leq \frac{1}{4} \] 4. Xác định giá trị của \( y \): Ta có: \[ y = 1 - 3 \sin^2 x \cos^2 x \] Khi \( \sin^2 x \cos^2 x = 0 \): \[ y = 1 - 3 \cdot 0 = 1 \] Khi \( \sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4} \): \[ y = 1 - 3 \cdot \frac{1}{4} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \] Vậy tập giá trị của hàm số \( y = \sin^6 x + \cos^6 x \) là: \[ \boxed{\left[ \frac{1}{4}, 1 \right]} \] Câu 2: Ta có: \[ y = \frac{2\sin x + \cos x}{\sin x + 2\cos x + 4}. \] Đặt \( t = \tan x \). Ta có \( \sin x = \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} \) và \( \cos x = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \). Thay vào hàm số ta có: \[ y = \frac{2 \cdot \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} + \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}}{\frac{t}{\sqrt{1+t^2}} + 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} + 4}. \] Rút gọn: \[ y = \frac{2t + 1}{t + 2 + 4\sqrt{1+t^2}}. \] Nhân cả tử và mẫu với \( \sqrt{1+t^2} \): \[ y = \frac{(2t + 1)\sqrt{1+t^2}}{t\sqrt{1+t^2} + 2\sqrt{1+t^2} + 4(1+t^2)}. \] Rút gọn tiếp: \[ y = \frac{(2t + 1)\sqrt{1+t^2}}{t\sqrt{1+t^2} + 2\sqrt{1+t^2} + 4 + 4t^2}. \] Chia cả tử và mẫu cho \( \sqrt{1+t^2} \): \[ y = \frac{2t + 1}{t + 2 + 4\sqrt{1+t^2}/\sqrt{1+t^2}}. \] Rút gọn tiếp: \[ y = \frac{2t + 1}{t + 2 + 4}. \] Cuối cùng: \[ y = \frac{2t + 1}{t + 6}. \] Xét hàm số \( f(t) = \frac{2t + 1}{t + 6} \). Để tìm tập giá trị của hàm số, ta xét giới hạn của \( f(t) \) khi \( t \to \pm \infty \): \[ \lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{2t + 1}{t + 6} = 2. \] \[ \lim_{t \to -\infty} f(t) = \lim_{t \to -\infty} \frac{2t + 1}{t + 6} = 2. \] Do đó, tập giá trị của hàm số là khoảng mở \( (-2, 2) \). Vậy tập giá trị của hàm số \( y = \frac{2\sin x + \cos x}{\sin x + 2\cos x + 4} \) là \( (-2, 2) \). Câu 3: Để xét tính chẵn, lẻ của hàm số \( y = \sin^2 x + \cos x \), ta cần kiểm tra xem hàm số có thỏa mãn điều kiện của hàm số chẵn hoặc lẻ hay không. 1. Kiểm tra tính chẵn: - Hàm số \( y = f(x) \) là hàm số chẵn nếu \( f(-x) = f(x) \) với mọi \( x \) trong miền xác định của \( f \). Ta có: \[ f(-x) = \sin^2(-x) + \cos(-x) \] Vì \( \sin(-x) = -\sin(x) \) và \( \cos(-x) = \cos(x) \), nên: \[ \sin^2(-x) = (-\sin(x))^2 = \sin^2(x) \] Do đó: \[ f(-x) = \sin^2(x) + \cos(x) = f(x) \] Vậy hàm số \( y = \sin^2 x + \cos x \) là hàm số chẵn. 2. Kiểm tra tính lẻ: - Hàm số \( y = f(x) \) là hàm số lẻ nếu \( f(-x) = -f(x) \) với mọi \( x \) trong miền xác định của \( f \). Ta đã biết: \[ f(-x) = \sin^2(x) + \cos(x) \] và: \[ -f(x) = -(\sin^2(x) + \cos(x)) = -\sin^2(x) - \cos(x) \] Rõ ràng: \[ \sin^2(x) + \cos(x) \neq -\sin^2(x) - \cos(x) \] Vậy hàm số \( y = \sin^2 x + \cos x \) không phải là hàm số lẻ. Kết luận: Hàm số \( y = \sin^2 x + \cos x \) là hàm số chẵn. Câu 4: Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \sqrt{1 + \sin x} - 3 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định miền giá trị của \( \sin x \): \[ -1 \leq \sin x \leq 1 \] 2. Thay giá trị của \( \sin x \) vào biểu thức \( 1 + \sin x \): \[ 1 - 1 \leq 1 + \sin x \leq 1 + 1 \] \[ 0 \leq 1 + \sin x \leq 2 \] 3. Tìm giá trị của \( \sqrt{1 + \sin x} \): \[ \sqrt{0} \leq \sqrt{1 + \sin x} \leq \sqrt{2} \] \[ 0 \leq \sqrt{1 + \sin x} \leq \sqrt{2} \] 4. Thay giá trị của \( \sqrt{1 + \sin x} \) vào biểu thức \( y = \sqrt{1 + \sin x} - 3 \): \[ 0 - 3 \leq \sqrt{1 + \sin x} - 3 \leq \sqrt{2} - 3 \] \[ -3 \leq y \leq \sqrt{2} - 3 \] 5. Kết luận: - Giá trị nhỏ nhất của \( y \) là \( -3 \), đạt được khi \( \sin x = -1 \). - Giá trị lớn nhất của \( y \) là \( \sqrt{2} - 3 \), đạt được khi \( \sin x = 1 \). Vậy, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \sqrt{1 + \sin x} - 3 \) lần lượt là: \[ \text{Giá trị lớn nhất: } \sqrt{2} - 3 \quad \text{(đạt được khi } \sin x = 1) \] \[ \text{Giá trị nhỏ nhất: } -3 \quad \text{(đạt được khi } \sin x = -1) \] Câu 5: Để hàm số \( y = \sqrt{\frac{m-1}{m-2}\cos4x} \) xác định trên khoảng \( (0, \pi) \), biểu thức dưới dấu căn phải không âm, tức là: \[ \frac{m-1}{m-2}\cos4x \geq 0 \] Trước tiên, ta xét điều kiện xác định của phân thức \(\frac{m-1}{m-2}\): 1. Điều kiện mẫu số khác 0: \[ m - 2 \neq 0 \] \[ m \neq 2 \] 2. Ta cần đảm bảo rằng \(\frac{m-1}{m-2}\cos4x \geq 0\) trên khoảng \( (0, \pi) \). Ta biết rằng \(\cos4x\) sẽ thay đổi từ \(-1\) đến \(1\) trong khoảng \( (0, \pi) \). Do đó, để \(\frac{m-1}{m-2}\cos4x \geq 0\) luôn đúng, \(\frac{m-1}{m-2}\) phải không đổi dấu trong khoảng này. Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: \(\frac{m-1}{m-2} > 0\) Điều này xảy ra khi cả tử số và mẫu số cùng dấu: \[ m - 1 > 0 \quad \text{và} \quad m - 2 > 0 \] \[ m > 1 \quad \text{và} \quad m > 2 \] \[ m > 2 \] Hoặc: \[ m - 1 < 0 \quad \text{và} \quad m - 2 < 0 \] \[ m < 1 \quad \text{và} \quad m < 2 \] \[ m < 1 \] Trường hợp 2: \(\frac{m-1}{m-2} < 0\) Điều này xảy ra khi tử số và mẫu số trái dấu: \[ m - 1 > 0 \quad \text{và} \quad m - 2 < 0 \] \[ m > 1 \quad \text{và} \quad m < 2 \] \[ 1 < m < 2 \] Hoặc: \[ m - 1 < 0 \quad \text{và} \quad m - 2 > 0 \] \[ m < 1 \quad \text{và} \quad m > 2 \] (không thể xảy ra) Do đó, để \(\frac{m-1}{m-2}\cos4x \geq 0\) luôn đúng trên khoảng \( (0, \pi) \), ta chọn: \[ m > 2 \quad \text{hoặc} \quad m < 1 \] Vì yêu cầu \( m \) là giá trị nguyên, ta có: \[ m > 2 \Rightarrow m = 3, 4, 5, \ldots \] \[ m < 1 \Rightarrow m = 0, -1, -2, \ldots \] Vậy, các giá trị nguyên của \( m \) thỏa mãn điều kiện là: \[ m \in \mathbb{Z} \setminus [1, 2] \] Đáp số: \( m \in \mathbb{Z} \setminus [1, 2] \) Câu 6: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích hàm số vận tốc theo phương ngang của cabin M, được cho bởi $v_s = 0,3\sin\alpha$ (m/s), trong đó $\alpha$ là góc lượng giác giữa trục $Ox$ và đường thẳng $OM$. Bước 1: Xác định miền giá trị của hàm số $\sin\alpha$ Hàm số $\sin\alpha$ có miền giá trị là $[-1, 1]$. Điều này có nghĩa là giá trị của $\sin\alpha$ sẽ dao động trong khoảng từ -1 đến 1 khi $\alpha$ thay đổi. Bước 2: Tìm miền giá trị của hàm số $v_s$ Dựa vào miền giá trị của $\sin\alpha$, ta có thể xác định miền giá trị của $v_s$ như sau: - Khi $\sin\alpha = 1$, $v_s = 0,3 \times 1 = 0,3$ m/s. - Khi $\sin\alpha = -1$, $v_s = 0,3 \times (-1) = -0,3$ m/s. Do đó, miền giá trị của $v_s$ là $[-0,3, 0,3]$ m/s. Bước 3: Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $v_s$ - Giá trị lớn nhất của $v_s$ là $0,3$ m/s, đạt được khi $\sin\alpha = 1$. - Giá trị nhỏ nhất của $v_s$ là $-0,3$ m/s, đạt được khi $\sin\alpha = -1$. Kết luận Vận tốc theo phương ngang của cabin M dao động trong khoảng từ $-0,3$ m/s đến $0,3$ m/s. Giá trị lớn nhất của vận tốc là $0,3$ m/s khi $\alpha$ thỏa mãn $\sin\alpha = 1$, và giá trị nhỏ nhất là $-0,3$ m/s khi $\alpha$ thỏa mãn $\sin\alpha = -1$.