giải ngắn gọn nhưng chi tiết giúp tôi đừng giảng gì hết chỉ cần viết cách giải vsf cho đá and thoii

Bài 1: 1) Giải phương trình $\sin3x = 1$ Điều kiện xác định: $3x$ thuộc miền giá trị của hàm sin, tức là $-\frac{\pi}{2} + k2\pi \leq 3x \leq \frac{\pi}{2} + k2\pi$, với $k$ là số nguyên. Ta có: $\sin3x = 1 \Leftrightarrow 3x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{k2\pi}{3}$ Vậy nghiệm của phương trình là: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{k2\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$ 2) Giải phương trình $\sqrt{2}\sin x + 1 = 0$ Điều kiện xác định: $x$ thuộc miền giá trị của hàm sin, tức là $-\frac{\pi}{2} + k2\pi \leq x \leq \frac{\pi}{2} + k2\pi$, với $k$ là số nguyên. Ta có: $\sqrt{2}\sin x + 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ Vậy nghiệm của phương trình là: $x = -\frac{\pi}{4} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{5\pi}{4} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$ 3) Giải phương trình $\sqrt{2}\sin(3x - \frac{\pi}{6}) - 1 = 0$ Điều kiện xác định: $3x - \frac{\pi}{6}$ thuộc miền giá trị của hàm sin, tức là $-\frac{\pi}{2} + k2\pi \leq 3x - \frac{\pi}{6} \leq \frac{\pi}{2} + k2\pi$, với $k$ là số nguyên. Ta có: $\sqrt{2}\sin(3x - \frac{\pi}{6}) - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin(3x - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \sin(3x - \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Vậy nghiệm của phương trình là: $3x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 3x - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{4} + k2\pi$ $\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{12} + \frac{k2\pi}{3} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{11\pi}{36} + \frac{k2\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$ 4) Giải phương trình $\sin2x = \frac{1}{4}$ Điều kiện xác định: $2x$ thuộc miền giá trị của hàm sin, tức là $-\frac{\pi}{2} + k2\pi \leq 2x \leq \frac{\pi}{2} + k2\pi$, với $k$ là số nguyên. Ta có: $\sin2x = \frac{1}{4}$ Vậy nghiệm của phương trình là: $2x = \arcsin(\frac{1}{4}) + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x = \pi - \arcsin(\frac{1}{4}) + k2\pi$ $\Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\arcsin(\frac{1}{4}) + k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\arcsin(\frac{1}{4}) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$ 5) Giải phương trình $\sin(3x - 1) = -\frac{3}{4}$ Điều kiện xác định: $3x - 1$ thuộc miền giá trị của hàm sin, tức là $-\frac{\pi}{2} + k2\pi \leq 3x - 1 \leq \frac{\pi}{2} + k2\pi$, với $k$ là số nguyên. Ta có: $\sin(3x - 1) = -\frac{3}{4}$ Vậy nghiệm của phương trình là: $3x - 1 = \arcsin(-\frac{3}{4}) + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 3x - 1 = \pi - \arcsin(-\frac{3}{4}) + k2\pi$ $\Leftrightarrow x = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\arcsin(-\frac{3}{4}) + \frac{k2\pi}{3} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{1}{3} + \frac{\pi}{3} - \frac{1}{3}\arcsin(-\frac{3}{4}) + \frac{k2\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$ 6) Giải phương trình $2\cos2x + 1 = 0$ Điều kiện xác định: $2x$ thuộc miền giá trị của hàm cos, tức là $-\pi + k2\pi \leq 2x \leq \pi + k2\pi$, với $k$ là số nguyên. Ta có: $2\cos2x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos2x = -\frac{1}{2}$ Vậy nghiệm của phương trình là: $2x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x = \frac{4\pi}{3} + k2\pi$ $\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3} + k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{2\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$ 7) Giải phương trình $12\cos(3x - 15^\circ) = 1$ Điều kiện xác định: $3x - 15^\circ$ thuộc miền giá trị của hàm cos, tức là $-\pi + k2\pi \leq 3x - 15^\circ \leq \pi + k2\pi$, với $k$ là số nguyên. Ta có: $12\cos(3x - 15^\circ) = 1 \Leftrightarrow \cos(3x - 15^\circ) = \frac{1}{12}$ Vậy nghiệm của phương trình là: $3x - 15^\circ = \arccos(\frac{1}{12}) + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 3x - 15^\circ = -\arccos(\frac{1}{12}) + k2\pi$ $\Leftrightarrow x = 5^\circ + \frac{1}{3}\arccos(\frac{1}{12}) + \frac{k2\pi}{3} \quad \text{hoặc} \quad x = 5^\circ - \frac{1}{3}\arccos(\frac{1}{12}) + \frac{k2\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$ 8) Giải phương trình $\cos2x = \cos\frac{\pi}{6}$ Điều kiện xác định: $2x$ thuộc miền giá trị của hàm cos, tức là $-\pi + k2\pi \leq 2x \leq \pi + k2\pi$, với $k$ là số nguyên. Ta có: $\cos2x = \cos\frac{\pi}{6} \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi$ $\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{12} + k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{\pi}{12} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$ 9) Giải phương trình $\cos3x = \frac{1}{3}$ Điều kiện xác định: $3x$ thuộc miền giá trị của hàm cos, tức là $-\pi + k2\pi \leq 3x \leq \pi + k2\pi$, với $k$ là số nguyên. Ta có: $\cos3x = \frac{1}{3}$ Vậy nghiệm của phương trình là: $3x = \arccos(\frac{1}{3}) + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 3x = -\arccos(\frac{1}{3}) + k2\pi$ $\Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\arccos(\frac{1}{3}) + \frac{k2\pi}{3} \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{1}{3}\arccos(\frac{1}{3}) + \frac{k2\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$ 10) Giải phương trình $\tan2x - \sqrt{3} = 0$ Điều kiện xác định: $2x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, với $k$ là số nguyên. Ta có: $\tan2x - \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow \tan2x = \sqrt{3}$ Vậy nghiệm của phương trình là: $2x = \frac{\pi}{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$ 11) Giải phương trình $\tan x + 1 = 0$ Điều kiện xác định: $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, với $k$ là số nguyên. Ta có: $\tan x + 1 = 0 \Leftrightarrow \tan x = -1$ Vậy nghiệm của phương trình là: $x = -\frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$ 12) Giải phương trình $\cot2x - \sqrt{3} = 0$ Điều kiện xác định: $2x \neq k\pi$, với $k$ là số nguyên. Ta có: $\cot2x - \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow \cot2x = \sqrt{3}$ Vậy nghiệm của phương trình là: $2x = \frac{\pi}{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$ 13) Giải phương trình $2\tan(2x - 1) + \sqrt{3} = 0$ Điều kiện xác định: $2x - 1 \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, với $k$ là số nguyên. Ta có: $2\tan(2x - 1) + \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow \tan(2x - 1) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ Vậy nghiệm của phương trình là: $2x - 1 = -\frac{\pi}{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} - \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$ 14) Giải phương trình $\cot(x + 2) = -\sqrt{3}$ Điều kiện xác định: $x + 2 \neq k\pi$, với $k$ là số nguyên. Ta có: $\cot(x + 2) = -\sqrt{3}$ Vậy nghiệm của phương trình là: $x + 2 = -\frac{\pi}{3} + k\pi \Leftrightarrow x = -2 - \frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$ 15) Giải phương trình $\cot(3x - 15^\circ) = \sqrt{3}$ Điều kiện xác định: $3x - 15^\circ \neq k\pi$, với $k$ là số nguyên. Ta có: $\cot(3x - 15^\circ) = \sqrt{3}$ Vậy nghiệm của phương trình là: $3x - 15^\circ = \frac{\pi}{3} + k\pi \Leftrightarrow x = 5^\circ + \frac{\pi}{9} + \frac{k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$ Bài 2: 1) \( \sin\left(\frac{\pi}{6} + 2x\right) = -1 \) Điều kiện xác định: \[ -\frac{\pi}{4} < x < 2\pi \] Ta biết rằng \(\sin(\theta) = -1\) khi \(\theta = -\frac{\pi}{2} + k2\pi\), với \(k\) là số nguyên. Do đó: \[ \frac{\pi}{6} + 2x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi \] \[ 2x = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + k2\pi \] \[ 2x = -\frac{2\pi}{3} + k2\pi \] \[ x = -\frac{\pi}{3} + k\pi \] Bây giờ ta kiểm tra các giá trị \(x\) trong khoảng \((- \frac{\pi}{4}; 2\pi)\): - Khi \(k = 0\): \[ x = -\frac{\pi}{3} \] \( -\frac{\pi}{4} < -\frac{\pi}{3} < 2\pi \) (thỏa mãn) - Khi \(k = 1\): \[ x = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3} \] \( -\frac{\pi}{4} < \frac{2\pi}{3} < 2\pi \) (thỏa mãn) - Khi \(k = 2\): \[ x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} \] \( -\frac{\pi}{4} < \frac{5\pi}{3} < 2\pi \) (thỏa mãn) - Khi \(k = 3\): \[ x = -\frac{\pi}{3} + 3\pi = \frac{8\pi}{3} \] \( \frac{8\pi}{3} > 2\pi \) (không thỏa mãn) Vậy các nghiệm của phương trình trong khoảng \((- \frac{\pi}{4}; 2\pi)\) là: \[ x = -\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \] 2) \( \cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \) Điều kiện xác định: \[ -\frac{\pi}{4} < x < 2\pi \] Ta biết rằng \(\cos(A) = \cos(B)\) khi \(A = B + k2\pi\) hoặc \(A = -B + k2\pi\), với \(k\) là số nguyên. Do đó: \[ 2x + \frac{\pi}{3} = x - \frac{\pi}{3} + k2\pi \] \[ x = -\frac{2\pi}{3} + k2\pi \] Hoặc: \[ 2x + \frac{\pi}{3} = -\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + k2\pi \] \[ 2x + \frac{\pi}{3} = -x + \frac{\pi}{3} + k2\pi \] \[ 3x = k2\pi \] \[ x = \frac{k2\pi}{3} \] Bây giờ ta kiểm tra các giá trị \(x\) trong khoảng \((- \frac{\pi}{4}; 2\pi)\): - Khi \(k = 0\): \[ x = 0 \] \( -\frac{\pi}{4} < 0 < 2\pi \) (thỏa mãn) - Khi \(k = 1\): \[ x = \frac{2\pi}{3} \] \( -\frac{\pi}{4} < \frac{2\pi}{3} < 2\pi \) (thỏa mãn) - Khi \(k = 2\): \[ x = \frac{4\pi}{3} \] \( -\frac{\pi}{4} < \frac{4\pi}{3} < 2\pi \) (thỏa mãn) - Khi \(k = 3\): \[ x = 2\pi \] \( 2\pi = 2\pi \) (thỏa mãn) Vậy các nghiệm của phương trình trong khoảng \((- \frac{\pi}{4}; 2\pi)\) là: \[ x = 0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, 2\pi \] 3) \( \tan\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = \tan\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \) Điều kiện xác định: \[ -\frac{\pi}{4} < x < 2\pi \] Ta biết rằng \(\tan(A) = \tan(B)\) khi \(A = B + k\pi\), với \(k\) là số nguyên. Do đó: \[ 3x - \frac{\pi}{4} = x + \frac{\pi}{6} + k\pi \] \[ 2x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + k\pi \] \[ 2x = \frac{5\pi}{12} + k\pi \] \[ x = \frac{5\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} \] Bây giờ ta kiểm tra các giá trị \(x\) trong khoảng \((- \frac{\pi}{4}; 2\pi)\): - Khi \(k = 0\): \[ x = \frac{5\pi}{24} \] \( -\frac{\pi}{4} < \frac{5\pi}{24} < 2\pi \) (thỏa mãn) - Khi \(k = 1\): \[ x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi}{2} = \frac{17\pi}{24} \] \( -\frac{\pi}{4} < \frac{17\pi}{24} < 2\pi \) (thỏa mãn) - Khi \(k = 2\): \[ x = \frac{5\pi}{24} + \pi = \frac{29\pi}{24} \] \( -\frac{\pi}{4} < \frac{29\pi}{24} < 2\pi \) (thỏa mãn) - Khi \(k = 3\): \[ x = \frac{5\pi}{24} + \frac{3\pi}{2} = \frac{41\pi}{24} \] \( \frac{41\pi}{24} > 2\pi \) (không thỏa mãn) Vậy các nghiệm của phương trình trong khoảng \((- \frac{\pi}{4}; 2\pi)\) là: \[ x = \frac{5\pi}{24}, \frac{17\pi}{24}, \frac{29\pi}{24} \] Bài 3: Bài 1: \( \cot\left(-x + \frac{3\pi}{4}\right) = 0 \) Điều kiện xác định: \[ -x + \frac{3\pi}{4} \neq k\pi \quad \text{với mọi } k \in \mathbb{Z} \] \[ -x \neq k\pi - \frac{3\pi}{4} \] \[ x \neq \frac{3\pi}{4} - k\pi \] Giải phương trình: \[ \cot\left(-x + \frac{3\pi}{4}\right) = 0 \] \[ -x + \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi \] \[ -x = \frac{\pi}{2} + k\pi - \frac{3\pi}{4} \] \[ -x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \] \[ x = \frac{\pi}{4} - k\pi \] Kiểm tra các giá trị \( x \) trong khoảng \([- \pi; \pi]\): - Khi \( k = 0 \): \( x = \frac{\pi}{4} \) - Khi \( k = 1 \): \( x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4} \) - Khi \( k = -1 \): \( x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4} \) (không nằm trong khoảng \([- \pi; \pi]\)) Vậy các nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{\pi}{4} \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{3\pi}{4} \] Bài 2: \( 2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{2} \) Điều kiện xác định: \[ x + \frac{\pi}{6} \] không cần thêm điều kiện vì \(\sin\) luôn xác định. Giải phương trình: \[ 2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{2} \] \[ \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Các giá trị của \(\sin\) bằng \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) là: \[ x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad x + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \] Giải từng trường hợp: 1. \( x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \) \[ x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi \] \[ x = \frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} + 2k\pi \] \[ x = \frac{\pi}{12} + 2k\pi \] 2. \( x + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \) \[ x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi \] \[ x = \frac{9\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} + 2k\pi \] \[ x = \frac{7\pi}{12} + 2k\pi \] Kiểm tra các giá trị \( x \) trong khoảng \([- \pi; \pi]\): - Khi \( k = 0 \): \( x = \frac{\pi}{12} \) hoặc \( x = \frac{7\pi}{12} \) - Khi \( k = -1 \): \( x = \frac{\pi}{12} - 2\pi = -\frac{23\pi}{12} \) (không nằm trong khoảng \([- \pi; \pi]\)) - Khi \( k = 1 \): \( x = \frac{\pi}{12} + 2\pi = \frac{25\pi}{12} \) (không nằm trong khoảng \([- \pi; \pi]\)) Vậy các nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{\pi}{12} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{7\pi}{12} \] \( \tan(-x) = \tan(2x + 1) \) Điều kiện xác định: \[ -x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{và} \quad 2x + 1 \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \] \[ x \neq -\frac{\pi}{2} - k\pi \quad \text{và} \quad 2x \neq \frac{\pi}{2} - 1 + k\pi \] \[ x \neq -\frac{\pi}{2} - k\pi \quad \text{và} \quad x \neq \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} + \frac{k\pi}{2} \] Giải phương trình: \[ \tan(-x) = \tan(2x + 1) \] \[ -x = 2x + 1 + k\pi \] \[ -3x = 1 + k\pi \] \[ x = -\frac{1 + k\pi}{3} \] Kiểm tra các giá trị \( x \) trong khoảng \([- \pi; \pi]\): - Khi \( k = 0 \): \( x = -\frac{1}{3} \) - Khi \( k = 1 \): \( x = -\frac{1 + \pi}{3} \approx -1.05 \) (nằm trong khoảng \([- \pi; \pi]\)) - Khi \( k = -1 \): \( x = -\frac{1 - \pi}{3} \approx 0.71 \) (nằm trong khoảng \([- \pi; \pi]\)) Vậy các nghiệm của phương trình là: \[ x = -\frac{1}{3} \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{1 + \pi}{3} \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{1 - \pi}{3} \] Bài 3: Chúng ta sẽ giải từng phương trình lượng giác một cách chi tiết. Phương trình 1: \(\sin x = 0\) Phương trình \(\sin x = 0\) có nghiệm là: \[ x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \] Phương trình 2: \(2\sin 2x + 1 = 0\) Đầu tiên, ta đưa phương trình về dạng đơn giản hơn: \[ 2\sin 2x + 1 = 0 \] \[ \Rightarrow \sin 2x = -\frac{1}{2}. \] Nghiệm của phương trình \(\sin 2x = -\frac{1}{2}\) là: \[ 2x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x = \pi + \frac{\pi}{6} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \] Từ đó, ta có: \[ x = -\frac{\pi}{12} + k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{7\pi}{12} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \] Phương trình 3: \(2\cos x - 1 = 0\) Đưa về dạng đơn giản: \[ 2\cos x - 1 = 0 \] \[ \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2}. \] Nghiệm của phương trình \(\cos x = \frac{1}{2}\) là: \[ x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \] Phương trình 4: \(2\cos x - \sqrt{2} = 0\) Đưa về dạng đơn giản: \[ 2\cos x - \sqrt{2} = 0 \] \[ \Rightarrow \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}. \] Nghiệm của phương trình \(\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) là: \[ x = \frac{\pi}{4} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{\pi}{4} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \] Phương trình 5: \(\sqrt{3}\tan 2x - 3 = 0\) Đưa về dạng đơn giản: \[ \sqrt{3}\tan 2x - 3 = 0 \] \[ \Rightarrow \tan 2x = \sqrt{3}. \] Nghiệm của phương trình \(\tan 2x = \sqrt{3}\) là: \[ 2x = \frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \] Từ đó, ta có: \[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}. \] Phương trình 6: \(\sqrt{3} + 3\tan x = 0\) Đưa về dạng đơn giản: \[ \sqrt{3} + 3\tan x = 0 \] \[ \Rightarrow \tan x = -\frac{\sqrt{3}}{3}. \] Nghiệm của phương trình \(\tan x = -\frac{\sqrt{3}}{3}\) là: \[ x = -\frac{\pi}{6} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \] Phương trình 7: \(\cot(3x - 1) = -\sqrt{3}\) Đưa về dạng đơn giản: \[ \cot(3x - 1) = -\sqrt{3}. \] Nghiệm của phương trình \(\cot \theta = -\sqrt{3}\) là: \[ \theta = \frac{2\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \] Với \(\theta = 3x - 1\), ta có: \[ 3x - 1 = \frac{2\pi}{3} + k\pi \] \[ \Rightarrow 3x = \frac{2\pi}{3} + 1 + k\pi \] \[ \Rightarrow x = \frac{2\pi}{9} + \frac{1}{3} + \frac{k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}. \] Trên đây là các nghiệm của từng phương trình lượng giác đã cho. Bài 4: Để giải các phương trình lượng giác này, chúng ta sẽ lần lượt giải từng phương trình theo yêu cầu của đề bài. a) Phương trình \(\sin(3x+\frac{\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) trên \((0;\frac{\pi}{2})\) Ta có: \[ \sin(3x+\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Giá trị \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) của hàm số sin đạt được khi góc bằng \(-\frac{\pi}{3} + 2k\pi\) hoặc \(-\frac{2\pi}{3} + 2k\pi\), với \(k \in \mathbb{Z}\). Do đó, ta có: \[ 3x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad 3x + \frac{\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi \] Giải phương trình thứ nhất: \[ 3x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi \] \[ x = -\frac{2\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3} \] Giải phương trình thứ hai: \[ 3x = -\pi + 2k\pi \] \[ x = -\frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3} \] Xét điều kiện \(x \in (0; \frac{\pi}{2})\), ta tìm giá trị \(k\) phù hợp. - Với \(x = -\frac{2\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}\), ta cần: \[ 0 < -\frac{2\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3} < \frac{\pi}{2} \] - Với \(x = -\frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3}\), ta cần: \[ 0 < -\frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3} < \frac{\pi}{2} \] Sau khi thử các giá trị \(k\), ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn điều kiện \(x \in (0; \frac{\pi}{2})\). Vậy phương trình không có nghiệm trong khoảng này. b) Phương trình \(\sin x = \frac{1}{2}\) trên \([-2\pi, 2\pi]\) Ta có: \[ \sin x = \frac{1}{2} \] Giá trị \(\frac{1}{2}\) của hàm số sin đạt được khi góc bằng \(\frac{\pi}{6} + 2k\pi\) hoặc \(\frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), với \(k \in \mathbb{Z}\). Xét điều kiện \(x \in [-2\pi, 2\pi]\), ta tìm giá trị \(k\) phù hợp. - Với \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\), ta có: \[ x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6} + 2\pi, \frac{\pi}{6} - 2\pi \] Tương ứng: \(x = \frac{\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}, -\frac{11\pi}{6}\). - Với \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), ta có: \[ x = \frac{5\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} + 2\pi, \frac{5\pi}{6} - 2\pi \] Tương ứng: \(x = \frac{5\pi}{6}, \frac{17\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6}\). Vậy các nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}, \frac{17\pi}{6}, -\frac{11\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6}\). c) Phương trình \(\sin(x+\frac{\pi}{4})=1\) trên \([\pi;2\pi]\) Ta có: \[ \sin(x+\frac{\pi}{4}) = 1 \] Giá trị \(1\) của hàm số sin đạt được khi góc bằng \(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\), với \(k \in \mathbb{Z}\). Do đó: \[ x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \] \[ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \] Xét điều kiện \(x \in [\pi, 2\pi]\), ta tìm giá trị \(k\) phù hợp. - Với \(x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\), ta cần: \[ \pi \leq \frac{\pi}{4} + 2k\pi \leq 2\pi \] Sau khi thử các giá trị \(k\), ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn điều kiện \(x \in [\pi, 2\pi]\). Vậy phương trình không có nghiệm trong khoảng này. d) Phương trình \(4\sin^2(2x)-1=0\) trên \((- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})\) Ta có: \[ 4\sin^2(2x) - 1 = 0 \] \[ \sin^2(2x) = \frac{1}{4} \] \[ \sin(2x) = \pm \frac{1}{2} \] Giá trị \(\frac{1}{2}\) của hàm số sin đạt được khi góc bằng \(\frac{\pi}{6} + 2k\pi\) hoặc \(\frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), với \(k \in \mathbb{Z}\). Giá trị \(-\frac{1}{2}\) của hàm số sin đạt được khi góc bằng \(-\frac{\pi}{6} + 2k\pi\) hoặc \(-\frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), với \(k \in \mathbb{Z}\). Do đó, ta có: \[ 2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \] \[ 2x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi \] Giải các phương trình trên: \[ x = \frac{\pi}{12} + k\pi, \quad x = \frac{5\pi}{12} + k\pi \] \[ x = -\frac{\pi}{12} + k\pi, \quad x = -\frac{5\pi}{12} + k\pi \] Xét điều kiện \(x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})\), ta tìm giá trị \(k\) phù hợp. - Với \(x = \frac{\pi}{12} + k\pi\), ta có: \[ x = \frac{\pi}{12}, -\frac{11\pi}{12} \] - Với \(x = \frac{5\pi}{12} + k\pi\), ta có: \[ x = \frac{5\pi}{12}, -\frac{7\pi}{12} \] - Với \(x = -\frac{\pi}{12} + k\pi\), ta có: \[ x = -\frac{\pi}{12}, \frac{11\pi}{12} \] - Với \(x = -\frac{5\pi}{12} + k\pi\), ta có: \[ x = -\frac{5\pi}{12}, \frac{7\pi}{12} \] Vậy các nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, -\frac{\pi}{12}, -\frac{5\pi}{12}\). e) Phương trình \(\sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{3})=1\) trên \([0,2\pi]\) Ta có: \[ \sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{3}) = 1 \] \[ \cos(x+\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \] Giá trị \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) của hàm số cos đạt được khi góc bằng \(\frac{\pi}{4} + 2k\pi\) hoặc \(-\frac{\pi}{4} + 2k\pi\), với \(k \in \mathbb{Z}\). Do đó: \[ x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \] Giải các phương trình trên: \[ x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi \] \[ x = \frac{\pi}{12} + 2k\pi, \quad x = -\frac{7\pi}{12} + 2k\pi \] Xét điều kiện \(x \in [0, 2\pi]\), ta tìm giá trị \(k\) phù hợp. - Với \(x = \frac{\pi}{12} + 2k\pi\), ta có: \[ x = \frac{\pi}{12} \] - Với \(x = -\frac{7\pi}{12} + 2k\pi\), ta có: \[ x = \frac{17\pi}{12} \] Vậy các nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}\). Tổng kết - a) Không có nghiệm. - b) Nghiệm: \(x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}, \frac{17\pi}{6}, -\frac{11\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6}\). - c) Không có nghiệm. - d) Nghiệm: \(x = \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, -\frac{\pi}{12}, -\frac{5\pi}{12}\). - e) Nghiệm: \(x = \frac{\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}\).