Làm giúp ttoii

Câu 3: Để giải phương trình \(\cot(3x + \frac{\pi}{4}) = -1\), chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm cotang \(\cot(\theta)\) không xác định khi \(\theta = k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\). Do đó, ta cần: \[ 3x + \frac{\pi}{4} \neq k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] Điều này tương đương với: \[ 3x \neq k\pi - \frac{\pi}{4} \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x \neq \frac{k\pi - \frac{\pi}{4}}{3} \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] 2. Giải phương trình: Ta biết rằng \(\cot(\theta) = -1\) khi \(\theta = -\frac{\pi}{4} + n\pi\) với \(n \in \mathbb{Z}\). Do đó: \[ 3x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + n\pi \quad \text{với} \quad n \in \mathbb{Z} \] Giải phương trình này để tìm \(x\): \[ 3x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + n\pi \] \[ 3x = -\frac{\pi}{4} + n\pi - \frac{\pi}{4} \] \[ 3x = -\frac{\pi}{2} + n\pi \] \[ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{n\pi}{3} \] 3. Kiểm tra đáp án: So sánh kết quả trên với các đáp án đã cho: \[ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{n\pi}{3} \quad \text{với} \quad n \in \mathbb{Z} \] Đáp án đúng là: \[ D.~x = \frac{\pi}{6} + k\frac{\pi}{3}~(k \in \mathbb{Z}) \] Do đó, đáp án cuối cùng là: \[ \boxed{D.~x = \frac{\pi}{6} + k\frac{\pi}{3}~(k \in \mathbb{Z})} \] Câu 4: Phương trình $\sin x=a$ có nghiệm khi và chỉ khi $-1\leq a\leq 1$. Do đó, phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực $a$ thỏa mãn $|a|\leq 1$. Đáp án đúng là B. Câu 5: Để xác định hàm số nào trong các lựa chọn A, B, C, D có tập xác định \( D = \mathbb{R} \), chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra tập xác định của từng hàm số. A. \( y = \cos x \) - Hàm số \( \cos x \) xác định với mọi giá trị thực của \( x \). - Tập xác định của \( \cos x \) là \( \mathbb{R} \). B. \( y = \frac{1}{\sin x} \) - Hàm số \( \frac{1}{\sin x} \) không xác định khi \( \sin x = 0 \). - \( \sin x = 0 \) khi \( x = k\pi \) với \( k \) là số nguyên. - Do đó, tập xác định của \( \frac{1}{\sin x} \) là \( \mathbb{R} \setminus \{k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\} \). C. \( y = \cot x \) - Hàm số \( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \) không xác định khi \( \sin x = 0 \). - \( \sin x = 0 \) khi \( x = k\pi \) với \( k \) là số nguyên. - Do đó, tập xác định của \( \cot x \) là \( \mathbb{R} \setminus \{k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\} \). D. \( y = \tan x \) - Hàm số \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \) không xác định khi \( \cos x = 0 \). - \( \cos x = 0 \) khi \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) với \( k \) là số nguyên. - Do đó, tập xác định của \( \tan x \) là \( \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\} \). Từ các phân tích trên, chỉ có hàm số \( y = \cos x \) có tập xác định là \( \mathbb{R} \). Đáp án: \( A.~y=\cos x \). Câu 6: Để tìm giá trị của \( x \) để hàm số \( y = \cos x \) nhận giá trị bằng 1, ta cần xem xét đồ thị của hàm số \( y = \cos x \) trên đoạn \([- \pi; 2\pi]\). 1. Xét hàm số \( y = \cos x \): - Hàm số \( y = \cos x \) có giá trị lớn nhất là 1. - Giá trị này đạt được khi \( x = 2k\pi \) với \( k \) là số nguyên. 2. Xét đoạn \([- \pi; 2\pi]\): - Trên đoạn này, ta có thể thấy \( x = 0 \) là một giá trị thỏa mãn \( \cos x = 1 \). 3. Kết luận: - Giá trị của \( x \) để hàm số \( y = \cos x \) nhận giá trị bằng 1 là \( x = 0 \). Vậy đáp án đúng là \( C.~x=0. \) Câu 7: Để tìm giá trị của $\tan\frac{\pi}{6}$, ta có thể sử dụng công thức lượng giác cơ bản và tam giác đặc biệt. 1. Tam giác đặc biệt: Xét tam giác đều có cạnh bằng 2. Khi đó, mỗi góc của tam giác đều là $\frac{\pi}{3}$. Nếu ta hạ đường cao từ một đỉnh xuống cạnh đối diện, tam giác đều sẽ được chia thành hai tam giác vuông bằng nhau. 2. Tam giác vuông: Xét một trong hai tam giác vuông vừa tạo ra. Đường cao này chia cạnh đáy thành hai đoạn bằng nhau, mỗi đoạn có độ dài là 1. Đường cao này cũng là đường phân giác và trung tuyến, nên độ dài của nó có thể được tính bằng định lý Pythagore. 3. Tính độ dài đường cao: Gọi độ dài đường cao là $h$. Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông có cạnh huyền là 2 và một cạnh góc vuông là 1, ta có: \[ h^2 + 1^2 = 2^2 \] \[ h^2 + 1 = 4 \] \[ h^2 = 3 \] \[ h = \sqrt{3} \] 4. Tính $\tan\frac{\pi}{6}$: Trong tam giác vuông vừa xét, góc $\frac{\pi}{6}$ là góc đối diện với cạnh có độ dài 1 và kề với cạnh có độ dài $\sqrt{3}$. Do đó, ta có: \[ \tan\frac{\pi}{6} = \frac{\text{đối}}{\text{kề}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] 5. Rút gọn phân số: Để biểu diễn phân số theo dạng chuẩn, ta nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{3}$: \[ \tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \] Vậy, giá trị của $\tan\frac{\pi}{6}$ là $\frac{\sqrt{3}}{3}$.