Giải hộ mình câu này với các bạn

Câu 11: Để kiểm tra đẳng thức nào không đúng với mọi \( x \), chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng đáp án. Đáp án A: \( \cos^2 3x = \frac{10 \cos 6x}{2} \) Biến đổi vế phải: \[ \frac{10 \cos 6x}{2} = 5 \cos 6x \] So sánh với vế trái: \[ \cos^2 3x \neq 5 \cos 6x \] Do đó, đẳng thức này không đúng với mọi \( x \). Đáp án B: \( \cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x \) Biến đổi vế phải: \[ 1 - 2 \sin^2 x = \cos 2x \] Đây là công thức lượng giác đúng, do đó đẳng thức này đúng với mọi \( x \). Đáp án C: \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \) Đây là công thức lượng giác đúng, do đó đẳng thức này đúng với mọi \( x \). Đáp án D: \( \cos 2x = \frac{1 + 2 \cos 2x - 1}{2} \) Biến đổi vế phải: \[ \frac{1 + 2 \cos 2x - 1}{2} = \frac{2 \cos 2x}{2} = \cos 2x \] Do đó, đẳng thức này đúng với mọi \( x \). Kết luận: Đáp án A là đẳng thức không đúng với mọi \( x \). Đáp án: \( \boxed{A} \) Câu 12: Để xác định công thức nào sai trong các công thức đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng công thức một cách chi tiết. A. $\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a$ Công thức này đúng vì nó là một trong các công thức cơ bản của lượng giác: \[ \cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a \] B. $\cos 2a = aaa^2 + a = aaa^2 +$ Công thức này sai vì nó không có ý nghĩa toán học. Biểu thức "aaa^2 + a" và "aaa^2 +" không thể hiện bất kỳ mối quan hệ lượng giác nào hợp lệ. C. $\cos 2a = 2\cos^2 a - 1$ Công thức này đúng vì nó cũng là một trong các công thức cơ bản của lượng giác: \[ \cos 2a = 2\cos^2 a - 1 \] D. $\cos 2a - 1 - 2m^2x^2x$ Công thức này sai vì nó không có ý nghĩa toán học. Biểu thức "-1 - 2m^2x^2x" không thể hiện bất kỳ mối quan hệ lượng giác nào hợp lệ. Vậy, trong các công thức đã cho, công thức B và D đều sai. Tuy nhiên, theo yêu cầu của đề bài, chúng ta chỉ cần chọn một công thức sai. Do đó, công thức sai là: \[ \boxed{B} \] Câu 13: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần kiểm tra từng mệnh đề để xem liệu nó có đúng hay không. Chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản đã biết. A. $\cos 2a = \cos^3 a - \sin^3 a$ Ta biết rằng: \[ \cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a \] và \[ \cos^3 a - \sin^3 a = (\cos a - \sin a)(\cos^2 a + \cos a \sin a + \sin^2 a) \] Rõ ràng, $\cos 2a$ không bằng $\cos^3 a - \sin^3 a$. Vậy mệnh đề A sai. B. $\cos 2a = \cos^2 a + \sin^2 a$ Ta biết rằng: \[ \cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a \] và \[ \cos^2 a + \sin^2 a = 1 \] Rõ ràng, $\cos 2a$ không bằng $\cos^2 a + \sin^2 a$. Vậy mệnh đề B sai. C. $\cos 2a = 2\cos^2 a + 1$ Ta biết rằng: \[ \cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a \] và \[ 2\cos^2 a + 1 = 2\cos^2 a + (\cos^2 a + \sin^2 a) = 3\cos^2 a + \sin^2 a \] Rõ ràng, $\cos 2a$ không bằng $2\cos^2 a + 1$. Vậy mệnh đề C sai. D. $\cos 2a = 2\sin^2 a - 1$ Ta biết rằng: \[ \cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a \] và \[ 2\sin^2 a - 1 = 2\sin^2 a - (\cos^2 a + \sin^2 a) = \sin^2 a - \cos^2 a = -(\cos^2 a - \sin^2 a) = -\cos 2a \] Rõ ràng, $\cos 2a$ không bằng $2\sin^2 a - 1$. Vậy mệnh đề D sai. Tóm lại, tất cả các mệnh đề đều sai. Câu 14: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần kiểm tra từng đáp án để xem nào là đúng dựa trên công thức lượng giác đã biết. A. \(2x = 2\sin x \cos x\) Đáp án này không đúng vì \(2x\) là một biến số tuyến tính, trong khi \(2\sin x \cos x\) là một biểu thức lượng giác. B. \(\sin 2x = \sin x \cos x\) Đáp án này cũng không đúng vì công thức đúng của \(\sin 2x\) là \(2\sin x \cos x\), không phải \(\sin x \cos x\). C. \(\sin 2x = 2\cos x\) Đáp án này không đúng vì công thức đúng của \(\sin 2x\) là \(2\sin x \cos x\), không phải \(2\cos x\). D. \(\sin 2x = 2\sin x\) Đáp án này cũng không đúng vì công thức đúng của \(\sin 2x\) là \(2\sin x \cos x\), không phải \(2\sin x\). Do đó, không có đáp án nào trong các đáp án A, B, C, D là đúng. Tuy nhiên, nếu phải chọn một đáp án gần đúng nhất, thì đáp án A gần đúng nhất vì nó có dạng \(2\sin x \cos x\), nhưng vẫn sai về mặt biến số \(2x\). Vậy, không có đáp án nào trong các đáp án A, B, C, D là đúng. Câu 15: Để tìm giá trị của \(\sin 2x\), ta sử dụng công thức nhân đôi cho sin: \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \] Ta đã biết \(\cos x = \frac{4}{5}\) và \(x \in \left(-\frac{\pi}{2}; 0\right)\), do đó \(\sin x < 0\). Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Thay \(\cos x = \frac{4}{5}\) vào, ta có: \[ \sin^2 x + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 x + \frac{16}{25} = 1 \] \[ \sin^2 x = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \] Vì \(\sin x < 0\), nên \(\sin x = -\frac{3}{5}\). Bây giờ, thay \(\sin x\) và \(\cos x\) vào công thức \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\): \[ \sin 2x = 2 \left(-\frac{3}{5}\right) \left(\frac{4}{5}\right) \] \[ \sin 2x = 2 \times -\frac{12}{25} = -\frac{24}{25} \] Vậy giá trị của \(\sin 2x\) là \(-\frac{24}{25}\). Đáp án đúng là \(B.~-\frac{24}{25}.\) Câu 16: Để tìm giá trị của \(\cos 2\alpha\) khi biết \(\cos \alpha = -\frac{2}{3}\), ta sử dụng công thức \(\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1\). Bước 1: Tính \(\cos^2 \alpha\): \[ \cos^2 \alpha = \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \] Bước 2: Thay giá trị \(\cos^2 \alpha\) vào công thức \(\cos 2\alpha\): \[ \cos 2\alpha = 2 \cdot \frac{4}{9} - 1 = \frac{8}{9} - 1 = \frac{8}{9} - \frac{9}{9} = -\frac{1}{9} \] Vậy giá trị của \(\cos 2\alpha\) là \(-\frac{1}{9}\). Đáp án đúng là: \[ A.~-\frac{1}{9} \] Câu 17: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị của \(\sin \alpha\) khi biết \(\cos \alpha = -\frac{3}{5}\) và \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\). Bước 1: Xác định dấu của \(\sin \alpha\) - Vì \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\), tức là \(\alpha\) nằm trong khoảng từ \(\frac{\pi}{2}\) đến \(\pi\), nên \(\sin \alpha\) sẽ dương. Bước 2: Sử dụng công thức liên hệ giữa \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\) - Ta có công thức: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\). - Thay giá trị \(\cos \alpha = -\frac{3}{5}\) vào công thức: \[ \sin^2 \alpha + \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + \frac{9}{25} = 1 \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} \] \[ \sin^2 \alpha = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} \] \[ \sin^2 \alpha = \frac{16}{25} \] Bước 3: Tìm giá trị của \(\sin \alpha\) - Vì \(\sin \alpha\) dương trong khoảng \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\), nên: \[ \sin \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~\frac{4}{5}. \] Câu 18: Để xác định mệnh đề nào sau đây sai, chúng ta sẽ kiểm tra từng công thức lượng giác đã cho. A. $\cos a \cos b = \frac{1}{2} [\cos(a - b) + \cos(a + b)]$ Công thức này đúng vì nó là một trong các công thức biến đổi tích thành tổng của cosin. B. $\sin a \cos b = \frac{1}{2} [\sin(a - b) - \cos(a + b)]$ Công thức này sai vì công thức đúng là: $\sin a \cos b = \frac{1}{2} [\sin(a + b) + \sin(a - b)]$ C. $\sin a \sin b = \frac{1}{2} [\cos(a - b) - \cos(a + b)]$ Công thức này đúng vì nó là một trong các công thức biến đổi tích thành tổng của sin. D. $\sin a \cos b = \frac{1}{2} [\sin(a - b) + \sin(a + b)]$ Công thức này đúng vì nó là một trong các công thức biến đổi tích thành tổng của sin. Vậy, mệnh đề sai là B. Đáp án: B. $\sin a \cos b = \frac{1}{2} [\sin(a - b) - \cos(a + b)]$ Câu 19: Để kiểm tra các đẳng thức lượng giác, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng đáp án: A. $\cos(a - b) = \cos a \cdot \cos b + \sin a \cdot \sin b$ Đây là công thức đúng của $\cos(a - b)$ trong lượng giác. B. $\cos a \cdot \cos b = \frac{1}{2} [\cos(a - b) + \cos(a + b)]$ Đây là công thức biến đổi tích thành tổng của $\cos a \cdot \cos b$, cũng đúng. C. $\sin(a - b) = \sin a \cdot \cos b - \cos a \cdot \sin b$ Đây là công thức đúng của $\sin(a - b)$ trong lượng giác. D. $\cos a + \cos b = 2 \cos(a + b) \cdot \cos(a - b)$ Đây là công thức biến đổi tổng thành tích của $\cos a + \cos b$. Tuy nhiên, công thức này không đúng vì công thức đúng là: $\cos a + \cos b = 2 \cos \left(\frac{a + b}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{a - b}{2}\right)$ Vậy, đẳng thức sai là D. Câu 20: Để xác định công thức nào trong các công thức đã cho là sai, chúng ta sẽ kiểm tra từng công thức một cách chi tiết dựa trên các công thức lượng giác cơ bản. 1. Kiểm tra công thức A: \[ \cos a + \cos b = 2 \cos \left( \frac{a+b}{2} \right) \cos \left( \frac{a-b}{2} \right) \] Công thức này đúng vì nó là một trong các công thức biến đổi tổng thành tích của cosin. 2. Kiểm tra công thức B: \[ \cos a - \cos b = -2 \sin \left( \frac{a+b}{2} \right) \sin \left( \frac{a-b}{2} \right) \] Công thức này cũng đúng vì nó là một trong các công thức biến đổi hiệu thành tích của cosin. 3. Kiểm tra công thức C: \[ \sin a + \sin b = 2 \sin \left( \frac{a+b}{2} \right) \cos \left( \frac{a-b}{2} \right) \] Công thức này đúng vì nó là một trong các công thức biến đổi tổng thành tích của sin. 4. Kiểm tra công thức D: \[ \sin a - \sin b = 2 \sin \left( \frac{a+b}{2} \right) \cos \left( \frac{a-b}{2} \right) \] Công thức này sai vì theo công thức biến đổi hiệu thành tích của sin, chúng ta có: \[ \sin a - \sin b = 2 \cos \left( \frac{a+b}{2} \right) \sin \left( \frac{a-b}{2} \right) \] Do đó, công thức sai là: \[ D.~\sin a - \sin b = 2 \sin \left( \frac{a+b}{2} \right) \cos \left( \frac{a-b}{2} \right) \] Đáp án: D. Câu 1: Hàm số \( y = \sin x \) là một hàm lượng giác cơ bản. Tập xác định của hàm số này là tất cả các số thực \( x \). Do đó, tập xác định của hàm số \( y = \sin x \) là \( \mathbb{R} \). Đáp án đúng là: \( D.~\mathbb{R}. \) Câu 2: Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \frac{1}{\sin x} \), chúng ta cần đảm bảo rằng mẫu số khác 0. Điều này có nghĩa là \(\sin x \neq 0\). Biết rằng \(\sin x = 0\) khi \(x = k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\). Do đó, để hàm số \( y = \frac{1}{\sin x} \) xác định, \(x\) không được bằng \(k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\). Vậy tập xác định của hàm số \( y = \frac{1}{\sin x} \) là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{k\pi, k \in \mathbb{Z}\} \] So sánh với các đáp án đã cho, ta thấy đáp án đúng là: \[ B.~D = \mathbb{R} \setminus \{k2\pi, k \in \mathbb{Z}\} \] Do đó, đáp án cuối cùng là: \[ \boxed{B.~D = \mathbb{R} \setminus \{k2\pi, k \in \mathbb{Z}\}} \]