Giúp mình với!

Câu 1: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của $\sin \alpha$ khi biết $\cos \alpha = \frac{-1}{6}$ và $\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. 1. Điều kiện xác định: Không có điều kiện xác định đặc biệt cần kiểm tra ở đây vì $\alpha$ đã nằm trong khoảng xác định. 2. Sử dụng công thức lượng giác cơ bản: Ta có công thức lượng giác cơ bản: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Thay $\cos \alpha = \frac{-1}{6}$ vào công thức trên, ta có: \[ \sin^2 \alpha + \left(\frac{-1}{6}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + \frac{1}{36} = 1 \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{36} = \frac{36}{36} - \frac{1}{36} = \frac{35}{36} \] 3. Tìm $\sin \alpha$: \[ \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{35}{36}} = \pm \frac{\sqrt{35}}{6} \] 4. Xác định dấu của $\sin \alpha$: - Do $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $\alpha$ nằm trong góc phần tư thứ hai, nơi mà $\sin \alpha > 0$. - Do đó, $\sin \alpha = \frac{\sqrt{35}}{6}$. Vậy, giá trị của $\sin \alpha$ là $\frac{\sqrt{35}}{6}$. Đáp án đúng là: D. $\sin \alpha = \frac{\sqrt{35}}{6}$. Câu 2: Để tính \(\sin \alpha\) khi biết \(\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}\) và \(\pi < \alpha < 2\pi\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định giá trị của \(\sin^2 \alpha\) từ công thức Pythagoras: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Thay giá trị \(\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}\) vào công thức trên: \[ \sin^2 \alpha + \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + \frac{3}{9} = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + \frac{1}{3} = 1 \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{3} \] \[ \sin^2 \alpha = \frac{2}{3} \] Bước 2: Tìm giá trị của \(\sin \alpha\): \[ \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} \] \[ \sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{6}}{3} \] Bước 3: Xác định dấu của \(\sin \alpha\) dựa vào khoảng giá trị của \(\alpha\): - Vì \(\pi < \alpha < 2\pi\), \(\alpha\) nằm trong nửa dưới của đường tròn đơn vị, nơi \(\sin \alpha\) âm. Do đó, \(\sin \alpha = -\frac{\sqrt{6}}{3}\). Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{-\frac{\sqrt{6}}{3}} \] Câu 3: Để tìm giá trị của $\sin x$, ta sử dụng công thức lượng giác cơ bản: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Với $\cos x = \frac{2}{\sqrt{5}}$, ta thay vào công thức trên: \[ \sin^2 x + \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 x + \frac{4}{5} = 1 \] \[ \sin^2 x = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5} \] Do đó, $\sin x = \pm \sqrt{\frac{1}{5}} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$. Bây giờ, ta cần xác định dấu của $\sin x$. Theo đề bài, $x$ thuộc khoảng $(-\frac{\pi}{2}; 0)$, trong khoảng này, $\sin x$ có giá trị âm. Do đó, ta chọn: \[ \sin x = -\frac{1}{\sqrt{5}} \] Tuy nhiên, đáp án này không có trong các lựa chọn. Có thể có sự nhầm lẫn trong việc tính toán hoặc trong đề bài. Hãy kiểm tra lại các bước tính toán hoặc đề bài để đảm bảo tính chính xác. Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần tính giá trị của $\cos\alpha$ và $\tan\alpha$ dựa trên thông tin đã cho: $\sin\alpha = \frac{1}{4}$ và $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. 1. Tính $\cos\alpha$: Sử dụng công thức lượng giác cơ bản: \[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] Thay $\sin\alpha = \frac{1}{4}$ vào công thức trên, ta có: \[ \left(\frac{1}{4}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \frac{1}{16} + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \] Do $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, nên $\cos\alpha > 0$. Do đó: \[ \cos\alpha = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \] 2. Tính $\tan\alpha$: Sử dụng công thức: \[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \] Thay các giá trị đã biết vào, ta có: \[ \tan\alpha = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{1}{\sqrt{15}} \] Để biểu diễn dưới dạng phân số với mẫu số hữu tỉ, ta nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{15}$: \[ \tan\alpha = \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15} \] Kết luận: Giá trị của $\cos\alpha$ là $\frac{\sqrt{15}}{4}$ và $\tan\alpha$ là $\frac{\sqrt{15}}{15}$. Do đó, đáp án đúng là $\textcircled{D}$. Câu 5: Do \(90^0 < a < 180^0\) nên \(\sin a > 0\) Ta có \(\sin ^2 a + \cos ^2 a = 1\) \(\Rightarrow \sin a = \sqrt{1 - \cos ^2 a} = \sqrt{1 - \left(-\frac25\right)^2} = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}\) Suy ra \(\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\sqrt{21}}{-2}\) Vậy chọn đáp án B Câu 6: Để tìm giá trị của $\cos\alpha$, ta sử dụng công thức lượng giác cơ bản: \[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] Với $\sin\alpha = \frac{1}{5}$, ta có: \[ \left(\frac{1}{5}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \frac{1}{25} + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{25} = \frac{25}{25} - \frac{1}{25} = \frac{24}{25} \] Do đó, $\cos\alpha = \pm \sqrt{\frac{24}{25}} = \pm \frac{\sqrt{24}}{5}$. Ta có thể đơn giản hóa $\sqrt{24}$ như sau: \[ \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = \sqrt{4} \times \sqrt{6} = 2\sqrt{6} \] Vậy $\cos\alpha = \pm \frac{2\sqrt{6}}{5}$. Tuy nhiên, cần chú ý đến khoảng giá trị của $\alpha$: $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Trong khoảng này, $\cos\alpha$ là âm. Do đó, ta chọn giá trị âm: \[ \cos\alpha = -\frac{2\sqrt{6}}{5} \] Vậy đáp án đúng là $B.~-\frac{4}{5}$. Câu 7: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị của \(\cos \alpha\) và \(\tan \alpha\) dựa trên thông tin đã cho là \(\sin \alpha = -\frac{3}{5}\) và \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\). 1. Xác định giá trị của \(\cos \alpha\): - Ta biết rằng \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\). - Thay giá trị \(\sin \alpha = -\frac{3}{5}\) vào công thức trên: \[ \left(-\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \frac{9}{25} + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{16}{25} \] \[ \cos \alpha = \pm \frac{4}{5} \] 2. Xác định dấu của \(\cos \alpha\): - Vì \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\), tức là \(\alpha\) nằm trong góc phần tư thứ III, nơi cả \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\) đều âm. - Do đó, \(\cos \alpha = -\frac{4}{5}\). 3. Tìm giá trị của \(\tan \alpha\): - Ta biết rằng \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\). - Thay giá trị \(\sin \alpha = -\frac{3}{5}\) và \(\cos \alpha = -\frac{4}{5}\) vào công thức trên: \[ \tan \alpha = \frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} \] \[ \tan \alpha = \frac{3}{4} \] Vậy giá trị của \(\cos \alpha\) và \(\tan \alpha\) lần lượt là \(-\frac{4}{5}\) và \(\frac{3}{4}\). Đáp án đúng là: \(B.~-\frac{4}{5}; \frac{3}{4}\). Câu 8: Để tính giá trị của biểu thức \( M = 10\sin\alpha + 5\cos\alpha \) với \(\cos \alpha = -\frac{4}{5}\) và \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định giá trị của \(\sin \alpha\): - Ta biết rằng \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\). - Thay giá trị \(\cos \alpha = -\frac{4}{5}\) vào công thức trên: \[ \sin^2 \alpha + \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + \frac{16}{25} = 1 \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25} \] \[ \sin^2 \alpha = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} \] \[ \sin^2 \alpha = \frac{9}{25} \] - Vì \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\), nên \(\sin \alpha > 0\). Do đó: \[ \sin \alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \] 2. Thay giá trị \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\) vào biểu thức \(M\): \[ M = 10\sin \alpha + 5\cos \alpha \] \[ M = 10 \cdot \frac{3}{5} + 5 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) \] \[ M = 10 \cdot \frac{3}{5} - 5 \cdot \frac{4}{5} \] \[ M = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 4 \] \[ M = 6 - 4 \] \[ M = 2 \] Vậy giá trị của biểu thức \(M\) là \(2\). Đáp án: B. 2.