giải cho tôi

Câu 52: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng kiến thức về vectơ và cách chia đoạn thẳng theo tỉ lệ. Cho tam giác \( ABC \) với hai điểm \( M \) và \( N \) chia cạnh \( BC \) thành ba phần bằng nhau, tức là \( BM = MN = NC \). Ta cần tìm biểu thức của vectơ \( \overrightarrow{AM} \) theo \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \). 1. Xác định vectơ \(\overrightarrow{BC}\): Vì \( M \) và \( N \) chia \( BC \) thành ba phần bằng nhau, ta có: \[ \overrightarrow{BM} = \frac{1}{3} \overrightarrow{BC} \] 2. Biểu diễn \(\overrightarrow{BC}\) theo \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\): Ta có: \[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \] 3. Tính \(\overrightarrow{BM}\): Thay \(\overrightarrow{BC}\) vào biểu thức của \(\overrightarrow{BM}\): \[ \overrightarrow{BM} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) \] 4. Tính \(\overrightarrow{AM}\): Sử dụng định nghĩa của vectơ: \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} \] Thay \(\overrightarrow{BM}\) vào: \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) \] Rút gọn: \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} - \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} \] \[ \overrightarrow{AM} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} \] Vậy đáp án đúng là \( A.~\overrightarrow{AM} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} \). Câu 55: Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng các tính chất của hình bình hành và các phép toán vectơ. Cho hình bình hành \(ABCD\), ta có các tính chất sau: 1. Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó, nếu \(M\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\), thì \(M\) là trung điểm của cả hai đường chéo. 2. Ta có: \[ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} \] và \[ \overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BD} \] 3. Vì \(M\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\), ta có: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} \] Thay các biểu thức của \(\overrightarrow{AM}\) và \(\overrightarrow{MB}\) vào, ta có: \[ \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BD} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BD} \] Vậy, đáp án chính xác là A. Câu 53: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng kiến thức về vectơ và tính chất của trung điểm trong tam giác. Cho tam giác \( ABC \) với \( M \) là trung điểm của \( BC \). Ta có: 1. Tính chất trung điểm: - Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên ta có: \[ \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{MC} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \] 2. Biểu diễn vectơ \(\overrightarrow{AB}\): - Ta cần biểu diễn \(\overrightarrow{AB}\) theo \(\overrightarrow{AM}\) và \(\overrightarrow{BC}\). - Theo định nghĩa vectơ, ta có: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} \] - Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên: \[ \overrightarrow{MB} = -\overrightarrow{BM} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \] - Thay vào phương trình trên, ta có: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM} - \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \] Do đó, đáp án đúng là \( C.~\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}-\frac12\overrightarrow{BC}. \) Câu 56: Để xác định cặp vectơ nào cùng phương, ta cần kiểm tra xem có tồn tại một số thực \( k \) sao cho một vectơ có thể được biểu diễn dưới dạng \( k \) lần vectơ kia hay không. Xét từng cặp vectơ trong các lựa chọn: A. \( 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \) và \( \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} \) - Giả sử \( 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = k(\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}) \). - Ta có: \( 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a} + 2k\overrightarrow{b} \). - So sánh từng thành phần, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} 2 = k \\ 1 = 2k \end{cases} \] - Giải hệ phương trình này, từ phương trình thứ nhất ta có \( k = 2 \). Thay vào phương trình thứ hai, ta có \( 1 = 2 \times 2 = 4 \), mâu thuẫn. - Vậy cặp này không cùng phương. B. \( 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \) và \( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} \) - Giả sử \( 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = k(\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}) \). - Ta có: \( 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a} - 2k\overrightarrow{b} \). - So sánh từng thành phần, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} 2 = k \\ -1 = -2k \end{cases} \] - Giải hệ phương trình này, từ phương trình thứ nhất ta có \( k = 2 \). Thay vào phương trình thứ hai, ta có \( -1 = -2 \times 2 = -4 \), mâu thuẫn. - Vậy cặp này không cùng phương. C. \( 5\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \) và \(-10\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} \) - Giả sử \( 5\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = k(-10\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}) \). - Ta có: \( 5\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = -10k\overrightarrow{a} - 2k\overrightarrow{b} \). - So sánh từng thành phần, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} 5 = -10k \\ 1 = -2k \end{cases} \] - Giải hệ phương trình này, từ phương trình thứ hai ta có \( k = -\frac{1}{2} \). Thay vào phương trình thứ nhất, ta có \( 5 = -10 \times -\frac{1}{2} = 5 \), đúng. - Vậy cặp này cùng phương. D. \( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \) và \( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \) - Giả sử \( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = k(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) \). - Ta có: \( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a} - k\overrightarrow{b} \). - So sánh từng thành phần, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} 1 = k \\ 1 = -k \end{cases} \] - Giải hệ phương trình này, từ phương trình thứ nhất ta có \( k = 1 \). Thay vào phương trình thứ hai, ta có \( 1 = -1 \), mâu thuẫn. - Vậy cặp này không cùng phương. Kết luận: Cặp vectơ cùng phương là cặp trong lựa chọn C: \( 5\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \) và \(-10\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} \). Câu 54: Để giải bài toán này, ta cần tìm biểu thức của vector \(\overrightarrow{AK}\) theo các vector \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\). 1. Tìm \(\overrightarrow{AM}\): Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\), ta có: \[ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \] 2. Tìm \(\overrightarrow{AN}\): Do \(NC = 2NA\), ta có: \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AN} + \overrightarrow{NC} = \overrightarrow{AN} + 2\overrightarrow{AN} = 3\overrightarrow{AN} \] Suy ra: \[ \overrightarrow{AN} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} \] 3. Tìm \(\overrightarrow{AK}\): \(K\) là trung điểm của \(MN\), do đó: \[ \overrightarrow{AK} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN}) \] Thay \(\overrightarrow{AM}\) và \(\overrightarrow{AN}\) vào, ta có: \[ \overrightarrow{AK} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}\right) \] \[ \overrightarrow{AK} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} \overrightarrow{AB}\right) + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3} \overrightarrow{AC}\right) \] \[ \overrightarrow{AK} = \frac{1}{4} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{6} \overrightarrow{AC} \] Vậy, đáp án đúng là: \[ B.~\overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}. \] Câu 57: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích điều kiện \( MA = MB + MC \) và xem xét các khẳng định được đưa ra. Phân tích điều kiện: Điều kiện \( MA = MB + MC \) có thể được hiểu là điểm \( M \) nằm trên đường thẳng nối điểm \( A \) với một điểm nào đó trên đoạn \( BC \). Điều này gợi ý rằng \( M \) có thể là một điểm đặc biệt liên quan đến các đường phân giác hoặc các đường trung tuyến của tam giác. Xem xét các khẳng định: A. Ba điểm \( C, M, B \) thẳng hàng. - Nếu \( C, M, B \) thẳng hàng, thì \( M \) phải nằm trên đoạn thẳng \( BC \). Tuy nhiên, điều kiện \( MA = MB + MC \) không thể xảy ra nếu \( M \) nằm trên đoạn \( BC \) vì khi đó \( MA \) không thể bằng tổng hai đoạn thẳng \( MB \) và \( MC \) (trừ khi \( M \) trùng với \( B \) hoặc \( C \), nhưng điều này không thỏa mãn điều kiện tổng quát). B. \( AM \) là phân giác trong của góc \( BAC \). - Nếu \( AM \) là phân giác trong của góc \( BAC \), thì theo tính chất của đường phân giác, ta có \(\frac{MB}{MC} = \frac{AB}{AC}\). Tuy nhiên, điều kiện \( MA = MB + MC \) không đảm bảo rằng \( M \) là điểm chia trong theo tỉ lệ này. C. \( A, M \) và trọng tâm tam giác \( ABC \) thẳng hàng. - Trọng tâm của tam giác \( ABC \) là điểm chia các đường trung tuyến theo tỉ lệ \( 2:1 \). Điều kiện \( MA = MB + MC \) không liên quan trực tiếp đến trọng tâm, vì vậy không có lý do gì để khẳng định rằng \( A, M \) và trọng tâm thẳng hàng. D. \(\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}\). - Điều này có nghĩa là \( \overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{BC} \), tức là \( M \) là điểm đối xứng của \( A \) qua trung điểm của \( BC \). Tuy nhiên, điều kiện \( MA = MB + MC \) không dẫn đến kết luận này. Kết luận: Không có khẳng định nào trong các lựa chọn A, B, C, D là đúng với điều kiện \( MA = MB + MC \). Có thể có sự nhầm lẫn trong đề bài hoặc cần thêm thông tin để xác định đúng khẳng định.