giải giúp e ạ

Câu 49: Để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\), ta cần kiểm tra xem chúng có song song, cắt nhau, trùng nhau hay chéo nhau. Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của các đường thẳng Đường thẳng \(d_1\) có phương trình: \[ \frac{x-1}{2} = \frac{y-7}{1} = \frac{z-3}{4} \] Vectơ chỉ phương của \(d_1\) là \(\overrightarrow{u_1} = (2, 1, 4)\). Đường thẳng \(d_2\) có phương trình: \[ \frac{x+3}{3} = \frac{y-5}{-2} = \frac{z+5}{1} \] Vectơ chỉ phương của \(d_2\) là \(\overrightarrow{u_2} = (3, -2, 1)\). Bước 2: Kiểm tra tính song song Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi vectơ chỉ phương của chúng tỉ lệ với nhau. Ta kiểm tra: \[ \frac{2}{3} \neq \frac{1}{-2} \neq \frac{4}{1} \] Do đó, \(\overrightarrow{u_1}\) và \(\overrightarrow{u_2}\) không tỉ lệ, nên \(d_1\) và \(d_2\) không song song. Bước 3: Kiểm tra tính cắt nhau Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình của chúng có nghiệm chung. Ta viết phương trình tham số của hai đường thẳng: - Đường thẳng \(d_1\): \[ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 7 + t \\ z = 3 + 4t \end{cases} \] - Đường thẳng \(d_2\): \[ \begin{cases} x = -3 + 3s \\ y = 5 - 2s \\ z = -5 + s \end{cases} \] Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} 1 + 2t = -3 + 3s \\ 7 + t = 5 - 2s \\ 3 + 4t = -5 + s \end{cases} \] Giải phương trình thứ nhất: \[ 1 + 2t = -3 + 3s \implies 2t - 3s = -4 \quad (1) \] Giải phương trình thứ hai: \[ 7 + t = 5 - 2s \implies t + 2s = -2 \quad (2) \] Giải phương trình thứ ba: \[ 3 + 4t = -5 + s \implies 4t - s = -8 \quad (3) \] Giải hệ phương trình (1), (2), (3) để tìm \(t\) và \(s\). Từ (1) và (2), ta có: \[ \begin{cases} 2t - 3s = -4 \\ t + 2s = -2 \end{cases} \] Nhân (2) với 2: \[ 2t + 4s = -4 \] Trừ (1) cho phương trình trên: \[ (2t + 4s) - (2t - 3s) = -4 - (-4) \implies 7s = 0 \implies s = 0 \] Thay \(s = 0\) vào (2): \[ t + 2(0) = -2 \implies t = -2 \] Thay \(t = -2\) và \(s = 0\) vào (3): \[ 4(-2) - 0 = -8 \implies -8 = -8 \] Hệ phương trình có nghiệm \(t = -2\), \(s = 0\), do đó hai đường thẳng cắt nhau. Kết luận: Hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) cắt nhau. Vị trí tương đối của chúng là D. cắt nhau. Câu 50: Để hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) cắt nhau, cần tồn tại các giá trị của tham số \(t\) và \(t'\) sao cho các điểm trên hai đường thẳng này trùng nhau. Điều này có nghĩa là hệ phương trình sau phải có nghiệm: \[ \begin{cases} 1 + at = 1 - t' \\ t = 2 + 2t' \\ -1 + 2t = 3 - t' \end{cases} \] Giải hệ phương trình này: 1. Từ phương trình thứ nhất: \[ at + t' = 0 \quad \Rightarrow \quad t' = -at \] 2. Thay \(t' = -at\) vào phương trình thứ hai: \[ t = 2 + 2(-at) \quad \Rightarrow \quad t = 2 - 2at \] 3. Thay \(t' = -at\) và \(t = 2 - 2at\) vào phương trình thứ ba: \[ -1 + 2(2 - 2at) = 3 + at \] \[ -1 + 4 - 4at = 3 + at \] \[ 3 - 4at = 3 + at \] \[ -4at - at = 0 \] \[ -5at = 0 \] Từ phương trình trên, ta có \(a = 0\). Vậy, giá trị của \(a\) để hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) cắt nhau là \(a = 0\). Đáp án đúng là \(A.~a=0\). Câu 51: Để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \(\Delta\) và \(\Delta^\prime\), ta cần kiểm tra xem chúng có song song, trùng nhau, cắt nhau hay chéo nhau. 1. Kiểm tra tính song song: Đường thẳng \(\Delta\) có phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = -3 \end{cases} \] Vector chỉ phương của \(\Delta\) là \(\vec{u} = (2, -1, 0)\). Đường thẳng \(\Delta^\prime\) có phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = 3 + 2t^\prime \\ y = 1 - t^\prime \\ z = -3 \end{cases} \] Vector chỉ phương của \(\Delta^\prime\) là \(\vec{u^\prime} = (2, -1, 0)\). Ta thấy \(\vec{u} = \vec{u^\prime}\), do đó hai đường thẳng \(\Delta\) và \(\Delta^\prime\) song song hoặc trùng nhau. 2. Kiểm tra tính trùng nhau: Để hai đường thẳng trùng nhau, ngoài việc có cùng vector chỉ phương, chúng phải có một điểm chung. Ta kiểm tra xem điểm nào trên \(\Delta\) có thuộc \(\Delta^\prime\) hay không. Chọn điểm \(M(1, 2, -3)\) thuộc \(\Delta\) (khi \(t = 0\)) và kiểm tra xem điểm này có thuộc \(\Delta^\prime\) không. Thay tọa độ của \(M\) vào phương trình của \(\Delta^\prime\): \[ \begin{cases} 1 = 3 + 2t^\prime \\ 2 = 1 - t^\prime \\ -3 = -3 \end{cases} \] Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} 1 = 3 + 2t^\prime \Rightarrow 2t^\prime = -2 \Rightarrow t^\prime = -1 \\ 2 = 1 - t^\prime \Rightarrow t^\prime = -1 \end{cases} \] Cả hai phương trình đều cho \(t^\prime = -1\), do đó điểm \(M(1, 2, -3)\) thuộc \(\Delta^\prime\). Vì \(\Delta\) và \(\Delta^\prime\) có cùng vector chỉ phương và có điểm chung, nên \(\Delta\) và \(\Delta^\prime\) trùng nhau. Kết luận: \(\Delta = \Delta^\prime\). Đáp án đúng là B. Câu 52: Để xác định đường thẳng nào song song với đường thẳng \(d\), ta cần tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng và so sánh chúng. Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\). Đường thẳng \(d\) có phương trình: \[ \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-3}{2} \] Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec{u} = (2, -1, 2)\). Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(\Delta\) và so sánh. - Đường thẳng \(A\): \[ \frac{x+1}{-2} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{2} \] Vectơ chỉ phương của \(A\) là \(\vec{v}_A = (-2, 1, 2)\). - Đường thẳng \(B\): \[ \frac{x-2}{-2} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{-2} \] Vectơ chỉ phương của \(B\) là \(\vec{v}_B = (-2, 1, -2)\). - Đường thẳng \(C\): \[ \frac{x-2}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{-2} \] Vectơ chỉ phương của \(C\) là \(\vec{v}_C = (2, 1, -2)\). - Đường thẳng \(D\): \[ \frac{x-3}{-2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-5}{-2} \] Vectơ chỉ phương của \(D\) là \(\vec{v}_D = (-2, 1, -2)\). Bước 3: So sánh các vectơ chỉ phương. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi vectơ chỉ phương của chúng tỉ lệ với nhau. - So sánh \(\vec{u} = (2, -1, 2)\) với \(\vec{v}_A = (-2, 1, 2)\): Không tỉ lệ. - So sánh \(\vec{u} = (2, -1, 2)\) với \(\vec{v}_B = (-2, 1, -2)\): Không tỉ lệ. - So sánh \(\vec{u} = (2, -1, 2)\) với \(\vec{v}_C = (2, 1, -2)\): Không tỉ lệ. - So sánh \(\vec{u} = (2, -1, 2)\) với \(\vec{v}_D = (-2, 1, -2)\): Không tỉ lệ. Kết luận: Không có đường thẳng nào trong các lựa chọn \(A, B, C, D\) song song với đường thẳng \(d\). Câu 53: Để giải quyết bài toán này, trước tiên chúng ta cần xác định tâm và bán kính của mặt cầu \((S)\). Phương trình mặt cầu \((S)\) là: \[ x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y + 2z - 10 = 0. \] Ta đưa phương trình này về dạng chuẩn của phương trình mặt cầu: 1. Nhóm các biến lại và hoàn thành bình phương: - \(x^2 - 4x\) hoàn thành bình phương thành \((x-2)^2 - 4\). - \(y^2 + 2y\) hoàn thành bình phương thành \((y+1)^2 - 1\). - \(z^2 + 2z\) hoàn thành bình phương thành \((z+1)^2 - 1\). 2. Thay vào phương trình: \[ (x-2)^2 - 4 + (y+1)^2 - 1 + (z+1)^2 - 1 - 10 = 0. \] 3. Đơn giản hóa: \[ (x-2)^2 + (y+1)^2 + (z+1)^2 = 16. \] Vậy, mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(2, -1, -1)\) và bán kính \(R = 4\). Tiếp theo, ta xét khoảng cách từ tâm \(I\) của mặt cầu đến mặt phẳng \((P)\). Phương trình mặt phẳng \((P)\) là: \[ x + 2y - 2z + 10 = 0. \] Khoảng cách từ điểm \(I(2, -1, -1)\) đến mặt phẳng \((P)\) được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|2 + 2(-1) - 2(-1) + 10|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|2 - 2 + 2 + 10|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{12}{3} = 4. \] Khoảng cách từ tâm \(I\) đến mặt phẳng \((P)\) bằng đúng bán kính của mặt cầu \((S)\), tức là \(d = R = 4\). Do đó, mặt phẳng \((P)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S)\). Vậy, mệnh đề đúng là: A. (P) tiếp xúc với (S). Câu 54: Để tìm bán kính của đường tròn (C) là giao tuyến của mặt phẳng \((\alpha)\) và mặt cầu (S), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S): Phương trình mặt cầu (S) là \((x-3)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=100\). Từ đây, ta thấy: - Tâm của mặt cầu \(I(3, -2, 1)\). - Bán kính của mặt cầu \(R = \sqrt{100} = 10\). 2. Tính khoảng cách từ tâm \(I\) đến mặt phẳng \((\alpha)\): Phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) là \(2x-2y-z+9=0\). Khoảng cách từ điểm \(I(3, -2, 1)\) đến mặt phẳng \((\alpha)\) được tính theo công thức: \[ d = \frac{|2 \cdot 3 - 2 \cdot (-2) - 1 \cdot 1 + 9|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-1)^2}} \] Tính toán: \[ d = \frac{|6 + 4 - 1 + 9|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{|18|}{3} = 6 \] 3. Tính bán kính của đường tròn giao tuyến (C): Bán kính \(r\) của đường tròn giao tuyến (C) được tính bằng công thức: \[ r = \sqrt{R^2 - d^2} \] Thay các giá trị đã biết: \[ r = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \] Vậy bán kính của đường tròn (C) là \(8\). Đáp án đúng là A. 8. Câu 55: Để tìm bán kính của đường tròn giao tuyến của mặt cầu \((S)\) với mặt phẳng \((Oxy)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu \((S)\): Phương trình mặt cầu \((S)\) là: \[ x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z = 0 \] Ta đưa phương trình về dạng chuẩn \((x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2\). - Hoàn thành bình phương cho \(x\): \[ x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1 \] - Hoàn thành bình phương cho \(y\): \[ y^2 - 4y = (y-2)^2 - 4 \] - Hoàn thành bình phương cho \(z\): \[ z^2 - 6z = (z-3)^2 - 9 \] Thay vào phương trình mặt cầu, ta có: \[ (x-1)^2 - 1 + (y-2)^2 - 4 + (z-3)^2 - 9 = 0 \] \[ (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = 14 \] Vậy, mặt cầu có tâm \(I(1, 2, 3)\) và bán kính \(R = \sqrt{14}\). 2. Xác định bán kính của đường tròn giao tuyến: Đường tròn giao tuyến của mặt cầu \((S)\) với mặt phẳng \((Oxy)\) là giao của mặt cầu với mặt phẳng \(z = 0\). Khoảng cách từ tâm \(I(1, 2, 3)\) đến mặt phẳng \((Oxy)\) là: \[ d = |3| = 3 \] Bán kính của đường tròn giao tuyến \(r\) được tính theo công thức: \[ r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{14 - 3^2} = \sqrt{14 - 9} = \sqrt{5} \] Vậy, bán kính của đường tròn giao tuyến là \(\sqrt{5}\). Đáp án đúng là \(B.~r=\sqrt{5}\).