giải toán cách làm rút gọn toán 12

Câu 1: Phương pháp giải: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \) là điểm uốn của đồ thị hàm số đó. Để tìm tọa độ tâm đối xứng, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số \( f''(x) \). 2. Giải phương trình \( f''(x) = 0 \) để tìm \( x_0 \). 3. Thay \( x_0 \) vào hàm số ban đầu để tìm \( y_0 \). Các bước giải chi tiết: 1. Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số \( f(x) = -x^3 + 6x^2 - 3x - 5 \): \[ f'(x) = -3x^2 + 12x - 3 \] \[ f''(x) = -6x + 12 \] 2. Giải phương trình \( f''(x) = 0 \) để tìm \( x_0 \): \[ -6x + 12 = 0 \] \[ -6x = -12 \] \[ x = 2 \] Vậy \( x_0 = 2 \). 3. Thay \( x_0 = 2 \) vào hàm số ban đầu để tìm \( y_0 \): \[ y_0 = f(2) = -(2)^3 + 6(2)^2 - 3(2) - 5 \] \[ y_0 = -8 + 24 - 6 - 5 \] \[ y_0 = 5 \] 4. Tính giá trị của \( 6x_0 - y_0 \): \[ 6x_0 - y_0 = 6(2) - 5 \] \[ 6x_0 - y_0 = 12 - 5 \] \[ 6x_0 - y_0 = 7 \] Đáp án: \( 6x_0 - y_0 = 7 \) Câu 2: Để tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = \frac{2x^2 - 3x}{x + 5} \), ta thực hiện phép chia đa thức \( 2x^2 - 3x \) cho \( x + 5 \). Bước 1: Thực hiện phép chia: \[ \begin{array}{r|rr} & 2x - 13 \\ \hline x + 5 & 2x^2 - 3x \\ & -(2x^2 + 10x) \\ \hline & -13x \\ & -(-13x - 65) \\ \hline & 65 \\ \end{array} \] Kết quả của phép chia là \( 2x - 13 \) dư \( 65 \). Do đó, ta có: \[ y = \frac{2x^2 - 3x}{x + 5} = 2x - 13 + \frac{65}{x + 5}. \] Bước 2: Xác định đường tiệm cận xiên: Khi \( x \to \pm \infty \), phần \( \frac{65}{x + 5} \) tiến đến 0. Do đó, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: \[ y = 2x - 13. \] Bước 3: Xác định các hệ số \( a \) và \( b \): So sánh với dạng tổng quát \( y = ax + b \), ta thấy: \[ a = 2 \quad \text{và} \quad b = -13. \] Bước 4: Tính giá trị của biểu thức \( T = 3a + 2b \): \[ T = 3(2) + 2(-13) = 6 - 26 = -20. \] Vậy giá trị của biểu thức \( T \) là: \[ \boxed{-20}. \] Câu 3: Để tính $\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b})$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}$: Tích vô hướng của một vectơ với chính nó là bình phương độ dài của vectơ đó. Do đó: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} = |\overrightarrow{a}|^2 = 2^2 = 4. \] 2. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$: Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ là: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos(\theta), \] trong đó $\theta$ là góc giữa hai vectơ. Ở đây, $\theta = 150^\circ$, do đó: \[ \cos(150^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}. \] Thay vào công thức, ta có: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \cdot 7 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -7\sqrt{3}. \] 3. Tính $\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b})$: Sử dụng tính chất phân phối của tích vô hướng: \[ \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}. \] Thay các giá trị đã tính được vào: \[ \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = 4 - (-7\sqrt{3}). \] \[ \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = 4 + 7\sqrt{3}. \] 4. Làm tròn kết quả: Tính giá trị gần đúng của $7\sqrt{3}$: \[ \sqrt{3} \approx 1.732 \Rightarrow 7\sqrt{3} \approx 7 \times 1.732 = 12.124. \] Do đó: \[ 4 + 7\sqrt{3} \approx 4 + 12.124 = 16.124. \] Làm tròn đến hàng đơn vị, ta được: \[ \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) \approx 16. \] Vậy, $\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) \approx 16$. Câu 4: Để tìm vận tốc \( v \) của chất điểm sau 5 giây, chúng ta cần tính đạo hàm của hàm quãng đường \( s(t) \) theo thời gian \( t \). Hàm quãng đường đã cho là: \[ s(t) = 3t^4 + 7t^3 - 5t^2 \] Đạo hàm của \( s(t) \) theo \( t \) để tìm hàm vận tốc \( v(t) \): \[ v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(3t^4 + 7t^3 - 5t^2) \] Tính đạo hàm từng hạng tử: \[ \frac{d}{dt}(3t^4) = 12t^3 \] \[ \frac{d}{dt}(7t^3) = 21t^2 \] \[ \frac{d}{dt}(-5t^2) = -10t \] Do đó, hàm vận tốc \( v(t) \) là: \[ v(t) = 12t^3 + 21t^2 - 10t \] Bây giờ, chúng ta thay \( t = 5 \) vào hàm vận tốc để tìm giá trị của \( v \) sau 5 giây: \[ v(5) = 12(5)^3 + 21(5)^2 - 10(5) \] Tính toán từng phần: \[ 12(5)^3 = 12 \times 125 = 1500 \] \[ 21(5)^2 = 21 \times 25 = 525 \] \[ -10(5) = -50 \] Cộng các kết quả lại: \[ v(5) = 1500 + 525 - 50 = 1975 \] Vậy, giá trị thực của \( v \) sau 5 giây là: \[ v = 1975 \text{ cm/s} \]