giải giúp e ạ

Câu 33: Để xác định điều kiện để hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) song song trong không gian, ta cần xét các yếu tố sau: 1. Vectơ chỉ phương (VTCP): Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi vectơ chỉ phương của chúng cùng phương. Điều này có nghĩa là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow{a}\) và vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d'\) là \(\overrightarrow{a'}\) phải thỏa mãn \(\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{a'}\) với \(k \neq 0\). 2. Điểm thuộc đường thẳng: Để hai đường thẳng song song, không cần thiết phải có điểm chung. Do đó, điều kiện về điểm thuộc đường thẳng không ảnh hưởng đến tính song song của hai đường thẳng. Dựa vào phân tích trên, ta thấy rằng điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) song song là vectơ chỉ phương của chúng cùng phương, tức là \(\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{a'}\) với \(k \neq 0\). Xét các đáp án: - A. \(\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{a'};(k\ne0)\\M\in d'\end{array}\right.\): Điều kiện này đúng về vectơ chỉ phương, nhưng không cần thiết phải có điểm \(M\) thuộc \(d'\). - B. \(\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{a'};(k\ne0)\\M\in d^\end{array}\right.\): Điều kiện này đúng về vectơ chỉ phương, nhưng không cần thiết phải có điểm \(M\) thuộc \(d^\). - C. \(\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{a} = \overrightarrow{a'}\\M\in d'\end{array}\right.\): Điều kiện này yêu cầu vectơ chỉ phương bằng nhau, điều này là một trường hợp đặc biệt của cùng phương, nhưng không cần thiết phải có điểm \(M\) thuộc \(d'\). - D. \(\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{a} \ne k\overrightarrow{a'};(k\ne0)\\M\in d'\end{array}\right.\): Điều kiện này sai vì nó yêu cầu vectơ chỉ phương không cùng phương. Vậy đáp án đúng là A: \(\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{a'};(k\ne0)\\M\in d'\end{array}\right.\), nhưng thực tế chỉ cần \(\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{a'};(k\ne0)\) là đủ để hai đường thẳng song song. Câu 34: Để xác định mối quan hệ giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\), ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): Đường thẳng \(d\) có phương trình tham số: \[ \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{4} = \frac{z-3}{1} = t \] Từ đó, ta có: \[ x = 1 + 2t, \quad y = 2 + 4t, \quad z = 3 + t \] Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec{u} = (2, 4, 1)\). 2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\): Mặt phẳng \((P)\) có phương trình: \[ x - y + 2z - 5 = 0 \] Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) là \(\vec{n} = (1, -1, 2)\). 3. Kiểm tra quan hệ vuông góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\): Để đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \((P)\), vectơ chỉ phương \(\vec{u}\) của \(d\) phải vuông góc với vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\) của \((P)\). Điều này có nghĩa là tích vô hướng của hai vectơ phải bằng 0: \[ \vec{u} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 1 + 4 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 = 2 - 4 + 2 = 0 \] Do đó, đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \((P)\). 4. Kết luận: Từ các bước trên, ta thấy rằng đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \((P)\). Do đó, mệnh đề đúng là: \[ \boxed{D.~d\bot(P)} \] Câu 35: Để tìm tọa độ giao điểm \( M \) của đường thẳng \( d \) và mặt phẳng \( (P) \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng \( d \). Đường thẳng \( d \) có phương trình: \[ \frac{x-12}{4} = \frac{y-9}{3} = \frac{z-1}{1} = t \] Từ đó, ta có phương trình tham số của đường thẳng \( d \): \[ \begin{cases} x = 4t + 12 \\ y = 3t + 9 \\ z = t + 1 \\ \end{cases} \] Bước 2: Thay phương trình tham số vào phương trình mặt phẳng \( (P) \). Phương trình mặt phẳng \( (P) \) là: \[ 3x + 5y - z - 2 = 0 \] Thay các giá trị \( x = 4t + 12 \), \( y = 3t + 9 \), \( z = t + 1 \) vào phương trình mặt phẳng: \[ 3(4t + 12) + 5(3t + 9) - (t + 1) - 2 = 0 \] Rút gọn phương trình: \[ 12t + 36 + 15t + 45 - t - 1 - 2 = 0 \] \[ (12t + 15t - t) + (36 + 45 - 1 - 2) = 0 \] \[ 26t + 78 = 0 \] Bước 3: Giải phương trình để tìm \( t \). \[ 26t = -78 \] \[ t = -3 \] Bước 4: Tìm tọa độ điểm \( M \). Thay \( t = -3 \) vào phương trình tham số của đường thẳng \( d \): \[ \begin{cases} x = 4(-3) + 12 = 0 \\ y = 3(-3) + 9 = 0 \\ z = -3 + 1 = -2 \\ \end{cases} \] Vậy tọa độ giao điểm \( M \) là \( (0; 0; -2) \). Kết luận: Tọa độ giao điểm \( M \) của đường thẳng \( d \) và mặt phẳng \( (P) \) là \( (0; 0; -2) \). Do đó, đáp án đúng là \( \boxed{B} \). Câu 36: Để giải bài toán này, ta cần kiểm tra điều kiện để đường thẳng \(\Delta\) nằm trong mặt phẳng \(mx + ny + 3z + 3 = 0\). Đường thẳng \(\Delta\) có dạng tham số: \[ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 + t \\ z = 2 + 2t \end{cases} \] Điều kiện để đường thẳng nằm trong mặt phẳng là mọi điểm trên đường thẳng đều thỏa mãn phương trình mặt phẳng. Thay các tham số của đường thẳng vào phương trình mặt phẳng: \[ m(1 + 2t) + n(-1 + t) + 3(2 + 2t) + 3 = 0 \] Khai triển và thu gọn: \[ m + 2mt - n + nt + 6 + 6t + 3 = 0 \] \[ (2m + n + 6)t + (m - n + 9) = 0 \] Để phương trình này đúng với mọi \(t\), hệ số của \(t\) phải bằng 0 và hằng số cũng phải bằng 0: \[ \begin{cases} 2m + n + 6 = 0 \\ m - n + 9 = 0 \end{cases} \] Giải hệ phương trình: 1. Từ phương trình thứ hai: \(m = n - 9\). 2. Thay vào phương trình thứ nhất: \[ 2(n - 9) + n + 6 = 0 \] \[ 2n - 18 + n + 6 = 0 \] \[ 3n - 12 = 0 \] \[ 3n = 12 \Rightarrow n = 4 \] 3. Thay \(n = 4\) vào \(m = n - 9\): \[ m = 4 - 9 = -5 \] Vậy \(m = -5\) và \(n = 4\). Tổng \(m + n = -5 + 4 = -1\). Do đó, đáp án đúng là D. -1. Câu 37: Để giải quyết bài toán này, ta cần kiểm tra mối quan hệ giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\). Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\). Đường thẳng \(d\) có phương trình tham số: \[ \frac{x+1}{1} = \frac{y}{-3} = \frac{z-5}{-1} \] Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow{u} = (1, -3, -1)\). Mặt phẳng \((P)\) có phương trình: \[ 3x - 3y + 2z - 6 = 0 \] Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) là \(\overrightarrow{n} = (3, -3, 2)\). Bước 2: Kiểm tra tính vuông góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\). Để kiểm tra xem đường thẳng \(d\) có vuông góc với mặt phẳng \((P)\) hay không, ta tính tích vô hướng của \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{n}\): \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n} = 1 \cdot 3 + (-3) \cdot (-3) + (-1) \cdot 2 = 3 + 9 - 2 = 10 \] Vì \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n} \neq 0\), nên đường thẳng \(d\) không vuông góc với mặt phẳng \((P)\). Bước 3: Kiểm tra tính song song giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\). Đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \((P)\) nếu và chỉ nếu \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n} = 0\). Như đã tính ở trên, \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n} = 10 \neq 0\), nên đường thẳng \(d\) không song song với mặt phẳng \((P)\). Bước 4: Kiểm tra xem đường thẳng \(d\) có nằm trong mặt phẳng \((P)\) hay không. Để đường thẳng \(d\) nằm trong mặt phẳng \((P)\), thì một điểm thuộc \(d\) phải thỏa mãn phương trình của \((P)\) và \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n} = 0\). Ta đã có \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n} = 10 \neq 0\), nên \(d\) không nằm trong \((P)\). Bước 5: Kết luận về mối quan hệ giữa \(d\) và \((P)\). Vì đường thẳng \(d\) không song song, không vuông góc và không nằm trong mặt phẳng \((P)\), nên đường thẳng \(d\) cắt mặt phẳng \((P)\) và không vuông góc với \((P)\). Do đó, mệnh đề đúng là: A. \(d\) cắt và không vuông góc với \((P)\). Câu 38: Để xác định đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng nào, ta cần tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng. Đường thẳng \(d\) có phương trình tham số: \[ \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z+1}{-1} \] Từ đó, ta có thể viết phương trình tham số của đường thẳng: \[ x = 1 + 2t, \quad y = -2 + t, \quad z = -1 - t \] Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec{u} = (2, 1, -1)\). Bây giờ, ta xét từng mặt phẳng: 1. Mặt phẳng \(A: x + y + 3z + 4 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_A = (1, 1, 3)\). 2. Mặt phẳng \(B: x + 2y + 4z + 7 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_B = (1, 2, 4)\). 3. Mặt phẳng \(C: 3x + y + 7z + 5 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_C = (3, 1, 7)\). 4. Mặt phẳng \(D: 3x + y + 4z + 5 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_D = (3, 1, 4)\). Đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng nếu vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, tức là tích vô hướng của hai vectơ bằng 0. Ta tính tích vô hướng \(\vec{u} \cdot \vec{n}\) cho từng mặt phẳng: - Với mặt phẳng \(A\): \[ \vec{u} \cdot \vec{n}_A = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 = 2 + 1 - 3 = 0 \] Vậy đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \(A\). - Với mặt phẳng \(B\): \[ \vec{u} \cdot \vec{n}_B = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 4 = 2 + 2 - 4 = 0 \] Vậy đường thẳng \(d\) cũng song song với mặt phẳng \(B\). - Với mặt phẳng \(C\): \[ \vec{u} \cdot \vec{n}_C = 2 \cdot 3 + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 7 = 6 + 1 - 7 = 0 \] Vậy đường thẳng \(d\) cũng song song với mặt phẳng \(C\). - Với mặt phẳng \(D\): \[ \vec{u} \cdot \vec{n}_D = 2 \cdot 3 + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 4 = 6 + 1 - 4 = 3 \neq 0 \] Vậy đường thẳng \(d\) không song song với mặt phẳng \(D\). Kết luận: Đường thẳng \(d\) song song với các mặt phẳng \(A\), \(B\), và \(C\). Câu 39: Để tìm giá trị của \( m \) sao cho đường thẳng \( d \) song song với mặt phẳng \( (P) \), ta cần kiểm tra điều kiện song song giữa đường thẳng và mặt phẳng. Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \( d \). Phương trình đường thẳng \( d \) được cho dưới dạng tham số: \[ \frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-1}{-1} \] Vectơ chỉ phương của đường thẳng \( d \) là \(\vec{u} = (1, 1, -1)\). Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \( (P) \). Phương trình mặt phẳng \( (P) \) là: \[ x + my + (m^2-1)z - 7 = 0 \] Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \( (P) \) là \(\vec{n} = (1, m, m^2-1)\). Bước 3: Điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng. Đường thẳng \( d \) song song với mặt phẳng \( (P) \) khi và chỉ khi vectơ chỉ phương \(\vec{u}\) vuông góc với vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\), tức là: \[ \vec{u} \cdot \vec{n} = 0 \] Tính tích vô hướng: \[ \vec{u} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot m + (-1) \cdot (m^2-1) = 1 + m - (m^2 - 1) \] \[ = 1 + m - m^2 + 1 = -m^2 + m + 2 \] Bước 4: Giải phương trình \(-m^2 + m + 2 = 0\). Giải phương trình bậc hai: \[ -m^2 + m + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad m^2 - m - 2 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = 1, b = -1, c = -2 \), ta có: \[ m = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} \] \[ m = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \] \[ m_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2, \quad m_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \] Kết luận: Giá trị của \( m \) để đường thẳng \( d \) song song với mặt phẳng \( (P) \) là \( m = 2 \) hoặc \( m = -1 \). Do đó, đáp án đúng là \( C.\left[\begin{array}{l}m=-1\\m=2\end{array}\right. \). Câu 40: Để xác định giá trị của \( m \) sao cho đường thẳng \( d \) vuông góc với mặt phẳng \( (P) \), ta cần kiểm tra điều kiện vuông góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \( d \) Đường thẳng \( d \) có dạng tham số: \[ \frac{x-1}{m} = \frac{y+2}{2m-1} = \frac{z+3}{2} \] Vectơ chỉ phương của đường thẳng \( d \) là: \[ \vec{u} = (m, 2m-1, 2) \] Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \( (P) \) Mặt phẳng \( (P) \) có phương trình: \[ x + 3y - 2z + 1 = 0 \] Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \( (P) \) là: \[ \vec{n} = (1, 3, -2) \] Bước 3: Điều kiện vuông góc Để đường thẳng \( d \) vuông góc với mặt phẳng \( (P) \), vectơ chỉ phương \( \vec{u} \) phải vuông góc với vectơ pháp tuyến \( \vec{n} \). Điều này có nghĩa là tích vô hướng của hai vectơ này phải bằng 0: \[ \vec{u} \cdot \vec{n} = m \cdot 1 + (2m-1) \cdot 3 + 2 \cdot (-2) = 0 \] Tính toán: \[ m + 3(2m-1) - 4 = 0 \] \[ m + 6m - 3 - 4 = 0 \] \[ 7m - 7 = 0 \] \[ 7m = 7 \] \[ m = 1 \] Vậy, giá trị của \( m \) để đường thẳng \( d \) vuông góc với mặt phẳng \( (P) \) là \( m = 1 \). Đáp án đúng là C. \( m = 1 \).