giải chi tiết toán 12

Câu 4: Để giải quyết các câu hỏi liên quan đến hình lập phương ABCD.A'B'C'D', ta thực hiện như sau: a) Số vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là các đỉnh còn lại của hình lập phương Hình lập phương có 8 đỉnh. Điểm A là một trong các đỉnh, do đó số vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là các đỉnh còn lại là \(8 - 1 = 7\). b) Độ dài của vectơ \(\overrightarrow{A'C'}\) Trong hình lập phương, các cạnh bằng nhau và bằng 3. Vectơ \(\overrightarrow{A'C'}\) là đường chéo của mặt bên A'B'C'D'. Độ dài của đường chéo mặt bên là: \[ \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \] Vậy độ dài của \(\overrightarrow{A'C'}\) là \(3\sqrt{2}\). c) Chứng minh \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{DB'}\) Ta có: - \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DB}\) - \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DD'}\) - \(\overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{DD'}\) Do đó: \[ \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{DB} - \overrightarrow{DD'} + \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DB'} \] d) Tính \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}\) Vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AD}\) là hai cạnh kề của hình lập phương, do đó chúng vuông góc với nhau. Tích vô hướng của hai vectơ vuông góc là 0: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0 \] Có thể có lỗi trong đề bài, vì tích vô hướng của hai vectơ vuông góc không thể là -9. Vui lòng kiểm tra lại đề bài.