Giúp mình với! Câu 3. Tìm tập giá trị của hàm số $y=\cos x,y=\sin x$,Câu 4. Đổi số đo các góc sau đây sang độ: $-\frac{2\pi}5,\frac\pi9,\frac\pi{24}$,$\frac{-2\pi}5=\frac{-2\pi}5.(\frac{180}5)=-72$ $\frac\pi{24}=\frac\pi{24}.(\frac{180}\pi)=\frac52.$,$\frac\pi9=\frac\pi9(\frac{180}\pi)=20.$,Câu 5. Cho $\sin\alpha=-\frac34$ và $\frac\pi2

Question

Giúp mình với! Câu 3. Tìm tập giá trị của hàm số $y=\cos x,y=\sin x$,Câu 4. Đổi số đo các góc sau đây sang độ: $-\frac{2\pi}5,\frac\pi9,\frac\pi{24}$,$\frac{-2\pi}5=\frac{-2\pi}5.(\frac{180}5)=-72$ $\frac\pi{24}=\frac\pi{24}.(\frac{180}\pi)=\frac52.$,$\frac\pi9=\frac\pi9(\frac{180}\pi)=20.$,Câu 5. Cho $\sin\alpha=-\frac34$ và $\frac\pi2<\alpha<\pi.$ Tính $	an(\alpha+\frac\pi3)$,Câu 6. Cho biết $\cos\alpha=-\frac23.$ Tính giá trị của biểu thức $P=\frac{\cot\alpha+3	an\alpha}{2\cot\alpha+	an\alpha}$

Accepted Answer

Câu 3:
Ta biết rằng $-1 \leq \sin x \leq 1$ và $-1 \leq \cos x \leq 1$. Do đó, tập giá trị của hàm số $ y = \cos x $ và $ y = \sin x $ là đoạn $[-1, 1]$.

Đáp số: Tập giá trị của hàm số $ y = \cos x $ và $ y = \sin x $ là $[-1, 1]$.

Câu 4:
Để đổi số đo các góc từ radian sang độ, ta sử dụng công thức chuyển đổi:
$$ \text{số đo góc trong độ} = \text{số đo góc trong radian} \times \frac{180^\circ}{\pi} $$

1. Đổi $-\frac{2\pi}{5}$ sang độ:
$$ -\frac{2\pi}{5} \times \frac{180^\circ}{\pi} = -\frac{2 \times 180^\circ}{5} = -\frac{360^\circ}{5} = -72^\circ $$

2. Đổi $\frac{\pi}{9}$ sang độ:
$$ \frac{\pi}{9} \times \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{9} = 20^\circ $$

3. Đổi $\frac{\pi}{24}$ sang độ:
$$ \frac{\pi}{24} \times \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{24} = 7.5^\circ = \frac{15^\circ}{2} $$

Vậy các góc đã cho đổi sang độ là:
$$ -\frac{2\pi}{5} = -72^\circ $$
$$ \frac{\pi}{9} = 20^\circ $$
$$ \frac{\pi}{24} = 7.5^\circ $$

Câu 5:
Do $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ nên $\cos \alpha < 0$. Ta có:
$$
\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \left(-\frac{3}{4}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{9}{16}} = -\sqrt{\frac{7}{16}} = -\frac{\sqrt{7}}{4}
$$
Suy ra:
$$
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{3}{4}}{-\frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{7}
$$
Áp dụng công thức cộng của tang ta có:
$$
\tan\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\tan \alpha + \tan \frac{\pi}{3}}{1 - \tan \alpha \cdot \tan \frac{\pi}{3}} = \frac{\frac{3\sqrt{7}}{7} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3\sqrt{7}}{7} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\frac{3\sqrt{7} + 7\sqrt{3}}{7}}{1 - \frac{3\sqrt{21}}{7}} = \frac{3\sqrt{7} + 7\sqrt{3}}{7 - 3\sqrt{21}}
$$

Câu 6:
Để tính giá trị của biểu thức $ P = \frac{\cot\alpha + 3\tan\alpha}{2\cot\alpha + \tan\alpha} $ khi biết $ \cos\alpha = -\frac{2}{3} $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm $\sin\alpha$:
   Ta biết rằng $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $. Thay giá trị $ \cos\alpha = -\frac{2}{3} $ vào công thức này:
   $$
   \sin^2\alpha + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = 1
   $$
   $$
   \sin^2\alpha + \frac{4}{9} = 1
   $$
   $$
   \sin^2\alpha = 1 - \frac{4}{9}
   $$
   $$
   \sin^2\alpha = \frac{9}{9} - \frac{4}{9}
   $$
   $$
   \sin^2\alpha = \frac{5}{9}
   $$
   Do đó, $ \sin\alpha = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} $.

2. Tìm $\tan\alpha$ và $\cot\alpha$:
   Ta có:
   $$
   \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\pm \frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} = \mp \frac{\sqrt{5}}{2}
   $$
   $$
   \cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \mp \frac{2}{\sqrt{5}}
   $$

3. Thay giá trị $\tan\alpha$ và $\cot\alpha$ vào biểu thức $P$:
   $$
   P = \frac{\cot\alpha + 3\tan\alpha}{2\cot\alpha + \tan\alpha}
   $$
   Thay $ \cot\alpha = \mp \frac{2}{\sqrt{5}} $ và $ \tan\alpha = \mp \frac{\sqrt{5}}{2} $:
   $$
   P = \frac{\left( \mp \frac{2}{\sqrt{5}} \right) + 3 \left( \mp \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}{2 \left( \mp \frac{2}{\sqrt{5}} \right) + \left( \mp \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}
   $$
   Ta sẽ xét hai trường hợp:

- Trường hợp 1: $ \cot\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} $ và $ \tan\alpha = -\frac{\sqrt{5}}{2} $:
     $$
     P = \frac{\frac{2}{\sqrt{5}} + 3 \left( -\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}{2 \left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right) + \left( -\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}
     $$
     $$
     P = \frac{\frac{2}{\sqrt{5}} - \frac{3\sqrt{5}}{2}}{\frac{4}{\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{5}}{2}}
     $$
     $$
     P = \frac{\frac{4 - 15}{2\sqrt{5}}}{\frac{8 - 5}{2\sqrt{5}}}
     $$
     $$
     P = \frac{-11}{3}
     $$

- Trường hợp 2: $ \cot\alpha = -\frac{2}{\sqrt{5}} $ và $ \tan\alpha = \frac{\sqrt{5}}{2} $:
     $$
     P = \frac{-\frac{2}{\sqrt{5}} + 3 \left( \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}{2 \left( -\frac{2}{\sqrt{5}} \right) + \left( \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}
     $$
     $$
     P = \frac{-\frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{3\sqrt{5}}{2}}{-\frac{4}{\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{5}}{2}}
     $$
     $$
     P = \frac{\frac{-4 + 15}{2\sqrt{5}}}{\frac{-8 + 5}{2\sqrt{5}}}
     $$
     $$
     P = \frac{11}{-3}
     $$
     $$
     P = -\frac{11}{3}
     $$

Do đó, giá trị của biểu thức $ P $ là $ -\frac{11}{3} $.