Giải hộ mình câu này với các bạn

Câu 3: Ta biết rằng \(-1 \leq \sin x \leq 1\) và \(-1 \leq \cos x \leq 1\). Do đó, tập giá trị của hàm số \( y = \cos x \) và \( y = \sin x \) đều là đoạn \([-1, 1]\). Đáp số: Tập giá trị của hàm số \( y = \cos x \) và \( y = \sin x \) là \([-1, 1]\). Câu 4: Để đổi số đo các góc từ radian sang độ, ta sử dụng công thức chuyển đổi: \[ \text{số đo góc trong độ} = \text{số đo góc trong radian} \times \frac{180^\circ}{\pi} \] 1. Đổi \(-\frac{2\pi}{5}\) sang độ: \[ -\frac{2\pi}{5} \times \frac{180^\circ}{\pi} = -\frac{2 \times 180^\circ}{5} = -\frac{360^\circ}{5} = -72^\circ \] 2. Đổi \(\frac{\pi}{9}\) sang độ: \[ \frac{\pi}{9} \times \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{9} = 20^\circ \] 3. Đổi \(\frac{\pi}{24}\) sang độ: \[ \frac{\pi}{24} \times \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{24} = 7.5^\circ = \frac{15^\circ}{2} \] Vậy các góc đã cho đổi sang độ là: \[ -\frac{2\pi}{5} = -72^\circ \] \[ \frac{\pi}{9} = 20^\circ \] \[ \frac{\pi}{24} = 7.5^\circ \] Câu 5: Do \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) nên \(\cos \alpha < 0\). Ta có: \[ \cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \left(-\frac{3}{4}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{9}{16}} = -\sqrt{\frac{7}{16}} = -\frac{\sqrt{7}}{4} \] Suy ra: \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{3}{4}}{-\frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{7} \] Áp dụng công thức cộng của tang ta có: \[ \tan\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\tan \alpha + \tan \frac{\pi}{3}}{1 - \tan \alpha \cdot \tan \frac{\pi}{3}} = \frac{\frac{3\sqrt{7}}{7} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3\sqrt{7}}{7} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\frac{3\sqrt{7} + 7\sqrt{3}}{7}}{1 - \frac{3\sqrt{21}}{7}} = \frac{3\sqrt{7} + 7\sqrt{3}}{7 - 3\sqrt{21}} \] Câu 6: Để tính giá trị của biểu thức \( P = \frac{\cot\alpha + 3\tan\alpha}{2\cot\alpha + \tan\alpha} \) khi biết \( \cos\alpha = -\frac{2}{3} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm \(\sin\alpha\): Ta biết rằng \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \). Thay giá trị \( \cos\alpha = -\frac{2}{3} \) vào công thức này: \[ \sin^2\alpha + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2\alpha + \frac{4}{9} = 1 \] \[ \sin^2\alpha = 1 - \frac{4}{9} \] \[ \sin^2\alpha = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} \] \[ \sin^2\alpha = \frac{5}{9} \] Do đó, \( \sin\alpha = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \). 2. Tìm \(\tan\alpha\) và \(\cot\alpha\): Ta có: \[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\pm \frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} = \mp \frac{\sqrt{5}}{2} \] \[ \cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \mp \frac{2}{\sqrt{5}} \] 3. Thay giá trị \(\tan\alpha\) và \(\cot\alpha\) vào biểu thức \(P\): \[ P = \frac{\cot\alpha + 3\tan\alpha}{2\cot\alpha + \tan\alpha} \] Thay \( \cot\alpha = \mp \frac{2}{\sqrt{5}} \) và \( \tan\alpha = \mp \frac{\sqrt{5}}{2} \): \[ P = \frac{\left( \mp \frac{2}{\sqrt{5}} \right) + 3 \left( \mp \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}{2 \left( \mp \frac{2}{\sqrt{5}} \right) + \left( \mp \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} \] Ta sẽ xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: \( \cot\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} \) và \( \tan\alpha = -\frac{\sqrt{5}}{2} \): \[ P = \frac{\frac{2}{\sqrt{5}} + 3 \left( -\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}{2 \left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right) + \left( -\frac{\sqrt{5}}{2} \right)} \] \[ P = \frac{\frac{2}{\sqrt{5}} - \frac{3\sqrt{5}}{2}}{\frac{4}{\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{5}}{2}} \] \[ P = \frac{\frac{4 - 15}{2\sqrt{5}}}{\frac{8 - 5}{2\sqrt{5}}} \] \[ P = \frac{-11}{3} \] - Trường hợp 2: \( \cot\alpha = -\frac{2}{\sqrt{5}} \) và \( \tan\alpha = \frac{\sqrt{5}}{2} \): \[ P = \frac{-\frac{2}{\sqrt{5}} + 3 \left( \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}{2 \left( -\frac{2}{\sqrt{5}} \right) + \left( \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} \] \[ P = \frac{-\frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{3\sqrt{5}}{2}}{-\frac{4}{\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{5}}{2}} \] \[ P = \frac{\frac{-4 + 15}{2\sqrt{5}}}{\frac{-8 + 5}{2\sqrt{5}}} \] \[ P = \frac{11}{-3} \] \[ P = -\frac{11}{3} \] Do đó, giá trị của biểu thức \( P \) là \( -\frac{11}{3} \).