Giúp mình với!

Câu 3: Để giải phương trình lượng giác \(\sin 3x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Xác định các góc mà sin của nó bằng \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\). 2. Viết các nghiệm tổng quát cho phương trình này. 3. Tìm các nghiệm trong khoảng \([0, 2\pi)\). Bước 1: Xác định các góc mà sin của nó bằng \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\). Ta biết rằng: \[ \sin \left( \frac{4\pi}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] và \[ \sin \left( \frac{5\pi}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Bước 2: Viết các nghiệm tổng quát cho phương trình này. Phương trình \(\sin 3x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) có nghiệm tổng quát là: \[ 3x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad 3x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] Bước 3: Tìm các nghiệm trong khoảng \([0, 2\pi)\). Chia cả hai vế cho 3 để tìm \(x\): \[ x = \frac{4\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{5\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3} \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] Bây giờ, ta sẽ tìm các giá trị của \(k\) sao cho \(x\) nằm trong khoảng \([0, 2\pi)\). - Với \(x = \frac{4\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}\): \[ 0 \leq \frac{4\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3} < 2\pi \] \[ -\frac{4\pi}{9} \leq \frac{2k\pi}{3} < 2\pi - \frac{4\pi}{9} \] \[ -\frac{4\pi}{9} \leq \frac{2k\pi}{3} < \frac{14\pi}{9} \] \[ -\frac{2}{3} \leq k < \frac{7}{3} \] Các giá trị nguyên của \(k\) là \(k = 0, 1, 2\). Do đó, các nghiệm tương ứng là: \[ x = \frac{4\pi}{9}, \quad x = \frac{10\pi}{9}, \quad x = \frac{16\pi}{9} \] - Với \(x = \frac{5\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}\): \[ 0 \leq \frac{5\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3} < 2\pi \] \[ -\frac{5\pi}{9} \leq \frac{2k\pi}{3} < 2\pi - \frac{5\pi}{9} \] \[ -\frac{5\pi}{9} \leq \frac{2k\pi}{3} < \frac{13\pi}{9} \] \[ -\frac{5}{6} \leq k < \frac{13}{6} \] Các giá trị nguyên của \(k\) là \(k = 0, 1, 2\). Do đó, các nghiệm tương ứng là: \[ x = \frac{5\pi}{9}, \quad x = \frac{11\pi}{9}, \quad x = \frac{17\pi}{9} \] Vậy các nghiệm của phương trình \(\sin 3x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) trong khoảng \([0, 2\pi)\) là: \[ x = \frac{4\pi}{9}, \quad x = \frac{5\pi}{9}, \quad x = \frac{10\pi}{9}, \quad x = \frac{11\pi}{9}, \quad x = \frac{16\pi}{9}, \quad x = \frac{17\pi}{9} \] Câu 4: Để khai triển các hàm số lượng giác đã cho, chúng ta sẽ sử dụng công thức cộng góc cho cosin và sin. 1. Khai triển \(\cos(\alpha + \frac{5\pi}{6})\): Ta sử dụng công thức cộng góc cho cosin: \[ \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \] Với \(a = \alpha\) và \(b = \frac{5\pi}{6}\), ta có: \[ \cos\left(\alpha + \frac{5\pi}{6}\right) = \cos \alpha \cos \frac{5\pi}{6} - \sin \alpha \sin \frac{5\pi}{6} \] Ta biết rằng: \[ \cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2} \] Thay vào công thức trên, ta được: \[ \cos\left(\alpha + \frac{5\pi}{6}\right) = \cos \alpha \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \sin \alpha \left(\frac{1}{2}\right) \] \[ \cos\left(\alpha + \frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha - \frac{1}{2} \sin \alpha \] 2. Khai triển \(\cos(\alpha - \frac{2\pi}{3})\): Ta sử dụng công thức trừ góc cho cosin: \[ \cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b \] Với \(a = \alpha\) và \(b = \frac{2\pi}{3}\), ta có: \[ \cos\left(\alpha - \frac{2\pi}{3}\right) = \cos \alpha \cos \frac{2\pi}{3} + \sin \alpha \sin \frac{2\pi}{3} \] Ta biết rằng: \[ \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}, \quad \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Thay vào công thức trên, ta được: \[ \cos\left(\alpha - \frac{2\pi}{3}\right) = \cos \alpha \left(-\frac{1}{2}\right) + \sin \alpha \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \] \[ \cos\left(\alpha - \frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \] 3. Khai triển \(\sin(\alpha + \frac{5\pi}{6})\): Ta sử dụng công thức cộng góc cho sin: \[ \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \] Với \(a = \alpha\) và \(b = \frac{5\pi}{6}\), ta có: \[ \sin\left(\alpha + \frac{5\pi}{6}\right) = \sin \alpha \cos \frac{5\pi}{6} + \cos \alpha \sin \frac{5\pi}{6} \] Ta biết rằng: \[ \cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2} \] Thay vào công thức trên, ta được: \[ \sin\left(\alpha + \frac{5\pi}{6}\right) = \sin \alpha \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \cos \alpha \left(\frac{1}{2}\right) \] \[ \sin\left(\alpha + \frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha + \frac{1}{2} \cos \alpha \] 4. Khai triển \(\sin(\alpha - \frac{2\pi}{3})\): Ta sử dụng công thức trừ góc cho sin: \[ \sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b \] Với \(a = \alpha\) và \(b = \frac{2\pi}{3}\), ta có: \[ \sin\left(\alpha - \frac{2\pi}{3}\right) = \sin \alpha \cos \frac{2\pi}{3} - \cos \alpha \sin \frac{2\pi}{3} \] Ta biết rằng: \[ \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}, \quad \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Thay vào công thức trên, ta được: \[ \sin\left(\alpha - \frac{2\pi}{3}\right) = \sin \alpha \left(-\frac{1}{2}\right) - \cos \alpha \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \] \[ \sin\left(\alpha - \frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} \sin \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha \] Tóm lại, các khai triển của các hàm số lượng giác đã cho là: \[ \cos\left(\alpha + \frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha - \frac{1}{2} \sin \alpha \] \[ \cos\left(\alpha - \frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \] \[ \sin\left(\alpha + \frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha + \frac{1}{2} \cos \alpha \] \[ \sin\left(\alpha - \frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} \sin \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha \] Câu 1: Để giải phương trình \(\tan 5x = \tan (x - 1)\), chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hàm tang (tan). Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Hàm tang \(\tan \theta\) không xác định khi \(\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi\) với \(k\) là số nguyên. Do đó, ta cần đảm bảo rằng: \[5x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{và} \quad x - 1 \neq \frac{\pi}{2} + m\pi\] với \(k, m\) là các số nguyên. Bước 2: Sử dụng tính chất của hàm tang Hai góc có cùng giá trị tang nếu chúng sai khác nhau một bội số nguyên của \(\pi\). Do đó, ta có: \[5x = x - 1 + n\pi\] với \(n\) là số nguyên. Bước 3: Giải phương trình \[5x = x - 1 + n\pi\] \[5x - x = -1 + n\pi\] \[4x = -1 + n\pi\] \[x = \frac{-1 + n\pi}{4}\] Bước 4: Kết luận Các nghiệm của phương trình \(\tan 5x = \tan (x - 1)\) là: \[x = \frac{-1 + n\pi}{4}\] với \(n\) là số nguyên. Đáp số: \(x = \frac{-1 + n\pi}{4}\) với \(n\) là số nguyên. Câu 2: Điều kiện xác định: \[ \sin 2x \neq 0 \Leftrightarrow 2x \neq k\pi \Leftrightarrow x \neq \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} \] Ta có phương trình: \[ \sqrt{3} \cot 2x = -1 \] Chia cả hai vế cho \(\sqrt{3}\): \[ \cot 2x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \] Nhắc lại rằng \(\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\). Ta biết rằng: \[ \cot \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \] Do đó: \[ \cot 2x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \cot 2x = -\cot \left( \frac{\pi}{3} \right) \] Biết rằng \(\cot \theta = -\cot \alpha\) khi \(\theta = \pi - \alpha + k\pi\), ta có: \[ 2x = \pi - \frac{\pi}{3} + k\pi \] \[ 2x = \frac{2\pi}{3} + k\pi \] Chia cả hai vế cho 2: \[ x = \frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} \]