toán giữa kì 1

Câu 37: Để xác định miền nghiệm của bất phương trình \(3x + 2y > 6\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định đường thẳng biên: - Phương trình đường thẳng biên là \(3x + 2y = 6\). - Ta cần tìm hai điểm để vẽ đường thẳng này: - Khi \(x = 0\), ta có \(2y = 6 \Rightarrow y = 3\). Vậy điểm \(A(0, 3)\). - Khi \(y = 0\), ta có \(3x = 6 \Rightarrow x = 2\). Vậy điểm \(B(2, 0)\). 2. Vẽ đường thẳng: - Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm \(A(0, 3)\) và \(B(2, 0)\). 3. Xác định miền nghiệm: - Chọn một điểm thử không nằm trên đường thẳng, ví dụ điểm \(O(0, 0)\). - Thay tọa độ điểm \(O\) vào bất phương trình: \(3(0) + 2(0) = 0\). - Vì \(0 \not> 6\), điểm \(O(0, 0)\) không thuộc miền nghiệm. 4. Kết luận: - Miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa điểm \(O(0, 0)\). Dựa vào hình ảnh, miền nghiệm là phần không chứa gốc tọa độ \(O(0, 0)\), tức là hình A. Câu 38: Để xác định đẳng thức nào đúng, ta cần tính giá trị của $\cos 30^\circ$. Góc $30^\circ$ là một góc đặc biệt trong lượng giác, và giá trị của $\cos 30^\circ$ có thể được xác định bằng cách sử dụng tam giác đều hoặc bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt. 1. Tam giác đều: Xét tam giác đều có cạnh bằng 2. Khi đó, mỗi góc của tam giác đều là $60^\circ$. Nếu ta hạ đường cao từ một đỉnh xuống cạnh đối diện, ta sẽ chia tam giác đều thành hai tam giác vuông, mỗi tam giác vuông có góc $30^\circ$ và $60^\circ$. - Đường cao này chia cạnh đáy thành hai đoạn bằng nhau, mỗi đoạn có độ dài 1. - Đường cao cũng là cạnh đối diện của góc $30^\circ$, và có độ dài $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$. Do đó, trong tam giác vuông có góc $30^\circ$, ta có: \[ \cos 30^\circ = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{\sqrt{3}}{2}. \] 2. Bảng giá trị lượng giác: Theo bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, ta cũng có: \[ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}. \] Vậy, đẳng thức đúng là $A.~\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Các đẳng thức khác: - $B.~\cos 30^\circ = \frac{1}{2}$ là sai vì $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$. - $C.~\cos 30^\circ = -\frac{1}{2}$ là sai vì $\cos 30^\circ$ là dương. - $D.~\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ là sai vì $\cos 30^\circ$ là dương. Kết luận: Đẳng thức đúng là $A.~\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Câu 39: Để xác định đẳng thức nào đúng, ta cần tính giá trị của các hàm lượng giác tại góc \(150^\circ\). 1. Tính \(\sin 150^\circ\): Ta có: \[ \sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \] Vậy, đẳng thức \(A.~\sin150^0=-\frac{\sqrt3}2\) là sai. 2. Tính \(\cos 150^\circ\): Ta có: \[ \cos 150^\circ = \cos (180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Vậy, đẳng thức \(B.~\cos150^0=\frac{\sqrt3}2\) là sai. 3. Tính \(\tan 150^\circ\): Ta có: \[ \tan 150^\circ = \tan (180^\circ - 30^\circ) = -\tan 30^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}} \] Vậy, đẳng thức \(C.~\tan150^0=-\frac1{\sqrt3}\) là đúng. 4. Tính \(\cot 150^\circ\): Ta có: \[ \cot 150^\circ = \cot (180^\circ - 30^\circ) = -\cot 30^\circ = -\sqrt{3} \] Vậy, đẳng thức \(D.~\cot150^0=\sqrt3\) là sai. Kết luận: Đẳng thức đúng là \(C.~\tan150^0=-\frac1{\sqrt3}\). Câu 40: Để tìm giá trị của biểu thức \(\cos 30^\circ + \sin 60^\circ\), ta cần tính riêng từng giá trị lượng giác. 1. Tính \(\cos 30^\circ\): - Theo bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, ta có \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). 2. Tính \(\sin 60^\circ\): - Theo bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, ta có \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Bây giờ, ta cộng hai giá trị này lại: \[ \cos 30^\circ + \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \] Vậy giá trị của \(\cos 30^\circ + \sin 60^\circ\) là \(\sqrt{3}\). Do đó, đáp án đúng là \(C.~\sqrt{3}\). Câu 41: Để tìm giá trị của biểu thức \(\sin 45^\circ + \cos 45^\circ\), ta cần biết giá trị của \(\sin 45^\circ\) và \(\cos 45^\circ\). Theo định lý lượng giác, ta có: \[ \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Do đó, biểu thức \(\sin 45^\circ + \cos 45^\circ\) trở thành: \[ \sin 45^\circ + \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \] Vậy giá trị của \(\sin 45^\circ + \cos 45^\circ\) là \(\sqrt{2}\). Do đó, đáp án đúng là \(C.~\sqrt{2}.\) Câu 42: Để tính giá trị của biểu thức \(5\sin^230^\circ + 3\cos60^\circ - \frac{3}{4}\tan^{2022}135^\circ\), chúng ta sẽ lần lượt tính từng phần của biểu thức này. 1. Tính \(\sin 30^\circ\): \[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \] Do đó: \[ \sin^2 30^\circ = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \] Vậy: \[ 5\sin^2 30^\circ = 5 \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \] 2. Tính \(\cos 60^\circ\): \[ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \] Vậy: \[ 3\cos 60^\circ = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \] 3. Tính \(\tan 135^\circ\): \[ \tan 135^\circ = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan 45^\circ = -1 \] Do đó: \[ \tan^{2022} 135^\circ = (-1)^{2022} = 1 \] Vậy: \[ \frac{3}{4}\tan^{2022} 135^\circ = \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{3}{4} \] 4. Kết hợp tất cả các phần lại: \[ 5\sin^2 30^\circ + 3\cos 60^\circ - \frac{3}{4}\tan^{2022} 135^\circ = \frac{5}{4} + \frac{3}{2} - \frac{3}{4} \] Đưa về cùng mẫu số chung: \[ \frac{5}{4} + \frac{6}{4} - \frac{3}{4} = \frac{5 + 6 - 3}{4} = \frac{8}{4} = 2 \] Vậy giá trị của biểu thức là \(2\). Đáp án đúng là: A. 2. Câu 43: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng định lý cosin trong tam giác. Định lý cosin cho tam giác \(ABC\) với các cạnh \(BC = a\), \(AC = b\), \(AB = c\) được phát biểu như sau: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \] \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B \] \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: - Mệnh đề A: \(a^2 = b^2 + c^2 + 2bc \cos A\). Mệnh đề này sai vì theo định lý cosin, dấu trước \(2bc \cos A\) phải là dấu trừ, không phải dấu cộng. - Mệnh đề B: \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\). Mệnh đề này đúng vì nó chính là phát biểu của định lý cosin cho cạnh \(a\). - Mệnh đề C: \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos C\). Mệnh đề này sai vì theo định lý cosin, \(a^2\) liên quan đến \(\cos A\), không phải \(\cos C\). - Mệnh đề D: \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos B\). Mệnh đề này sai vì theo định lý cosin, \(a^2\) liên quan đến \(\cos A\), không phải \(\cos B\). Vậy, mệnh đề đúng là mệnh đề B: \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\). Câu 44: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng định lý cosin trong tam giác. Định lý cosin cho tam giác \(ABC\) với các cạnh \(BC = a\), \(AC = b\), \(AB = c\) là: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \] Tương tự, ta có thể viết định lý cosin cho góc \(A\): \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A \] Từ phương trình trên, ta có thể giải để tìm \(\cos A\): \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A \] Chuyển vế, ta được: \[ 2bc \cdot \cos A = b^2 + c^2 - a^2 \] Chia cả hai vế cho \(2bc\), ta có: \[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \] Do đó, mệnh đề đúng là mệnh đề \(B\): \(\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\).