giải các câu hỏi

Câu 7: Để xác định hàm số nào tương ứng với đồ thị đã cho, ta cần phân tích các đặc điểm của đồ thị và so sánh với các hàm số đã cho. 1. Dạng đồ thị: - Đồ thị có dạng một đường cong đi qua gốc tọa độ và có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. - Điều này gợi ý rằng đồ thị có thể là của một hàm bậc ba. 2. Xét các đáp án: - \( A. ~ y = -x^3 - 3x + 2 \) - \( B. ~ y = -2x^3 + 3x - 2 \) - \( C. ~ y = x^3 - 3x - 2 \) - \( D. ~ y = 2x^2 - 5x - 2 \) 3. Loại trừ đáp án: - Đáp án \( D \) là hàm bậc hai, có dạng parabol, không phù hợp với đồ thị bậc ba đã cho. 4. Xét dấu của hệ số bậc ba: - Đồ thị có dạng đi xuống từ trái qua phải, điều này gợi ý hệ số của \( x^3 \) là âm. 5. So sánh với các đáp án còn lại: - Đáp án \( A \) và \( B \) có hệ số của \( x^3 \) là âm. - Đáp án \( C \) có hệ số của \( x^3 \) là dương, không phù hợp. 6. Kiểm tra điểm cắt trục tung: - Đồ thị cắt trục tung tại \( y = 2 \). - Đáp án \( A \) có hệ số tự do là \( 2 \), phù hợp với điểm cắt trục tung. 7. Kết luận: - Đồ thị phù hợp với hàm số \( y = -x^3 - 3x + 2 \). Vậy, hàm số tương ứng với đồ thị đã cho là \( A. ~ y = -x^3 - 3x + 2 \). Câu 8: Để xác định đồ thị của hàm số nào có dạng như đường cong trong hình, ta cần phân tích các đặc điểm của đồ thị: 1. Dạng đồ thị: - Đồ thị có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. - Đồ thị đi từ góc phần tư thứ hai xuống góc phần tư thứ tư, sau đó đi lên góc phần tư thứ nhất. 2. Xét các hàm số: - Hàm số \( y = x^3 - 3x + 1 \): - Đạo hàm: \( y' = 3x^2 - 3 \). - Giải \( y' = 0 \) ta có: \( 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \). - Tính giá trị tại các điểm: - \( y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = 3 \). - \( y(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = -1 \). - Đồ thị có điểm cực đại tại \( x = -1 \) và điểm cực tiểu tại \( x = 1 \). - Hàm số \( y = x^3 + 3x + 1 \): - Đạo hàm: \( y' = 3x^2 + 3 \). - Phương trình \( y' = 0 \) không có nghiệm thực, do đó không có cực trị. - Hàm số \( y = 2x^3 - 3x^2 - 1 \): - Đạo hàm: \( y' = 6x^2 - 6x \). - Giải \( y' = 0 \) ta có: \( 6x(x - 1) = 0 \Rightarrow x = 0 \) hoặc \( x = 1 \). - Tính giá trị tại các điểm: - \( y(0) = 2(0)^3 - 3(0)^2 - 1 = -1 \). - \( y(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 - 1 = -2 \). - Đồ thị có điểm cực đại tại \( x = 0 \) và điểm cực tiểu tại \( x = 1 \). - Hàm số \( y = -x^3 + 3x + 1 \): - Đạo hàm: \( y' = -3x^2 + 3 \). - Giải \( y' = 0 \) ta có: \( -3x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \). - Tính giá trị tại các điểm: - \( y(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) + 1 = -1 \). - \( y(1) = -(1)^3 + 3(1) + 1 = 3 \). - Đồ thị có điểm cực tiểu tại \( x = -1 \) và điểm cực đại tại \( x = 1 \). 3. Kết luận: - Đồ thị trong hình có điểm cực đại tại \( x = -1 \) và điểm cực tiểu tại \( x = 1 \), phù hợp với hàm số \( y = x^3 - 3x + 1 \). Vậy, đáp án đúng là \( A.~y = x^3 - 3x + 1 \). Câu 9: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = 4x^3 - 3x^2 - 6x + 5 \) trên đoạn \([0; 2]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(4x^3 - 3x^2 - 6x + 5) = 12x^2 - 6x - 6 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm cực trị trong khoảng \((0, 2)\): \[ 12x^2 - 6x - 6 = 0 \] Chia cả hai vế cho 6: \[ 2x^2 - x - 1 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = 2 \), \( b = -1 \), \( c = -1 \): \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2} \] Vì \( x_2 = -\frac{1}{2} \) không nằm trong khoảng \([0; 2]\), nên chỉ xét \( x_1 = 1 \). 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm \( x = 0 \), \( x = 1 \), và \( x = 2 \): \[ y(0) = 4(0)^3 - 3(0)^2 - 6(0) + 5 = 5 \] \[ y(1) = 4(1)^3 - 3(1)^2 - 6(1) + 5 = 4 - 3 - 6 + 5 = 0 \] \[ y(2) = 4(2)^3 - 3(2)^2 - 6(2) + 5 = 32 - 12 - 12 + 5 = 13 \] 4. So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị lớn nhất: \[ y(0) = 5, \quad y(1) = 0, \quad y(2) = 13 \] Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([0; 2]\) là 13, đạt được khi \( x = 2 \). Đáp án: C. 13. Câu 10: Để tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = \frac{3x^2 - x + 1}{x - 3} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm số xác định khi mẫu số khác 0, tức là \( x - 3 \neq 0 \). Do đó, \( x \neq 3 \). 2. Tìm đường tiệm cận xiên: Đường tiệm cận xiên có dạng \( y = ax + b \). Để tìm \( a \) và \( b \), ta thực hiện phép chia đa thức: Chia tử số \( 3x^2 - x + 1 \) cho mẫu số \( x - 3 \): - Thực hiện phép chia: \[ \begin{array}{r|l} 3x^2 - x + 1 & : & x - 3 \\ \hline 3x & \\ \hline 3x^2 - 9x & \\ \hline & 8x + 1 \\ \end{array} \] - Tiếp tục chia: \[ \begin{array}{r|l} 8x + 1 & : & x - 3 \\ \hline 8 & \\ \hline 8x - 24 & \\ \hline & 25 \\ \end{array} \] Kết quả của phép chia là \( 3x + 8 + \frac{25}{x-3} \). 3. Kết luận: Khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \), thì \(\frac{25}{x-3} \to 0\). Do đó, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là \( y = 3x + 8 \). Vậy, đáp án đúng là \( A.~y = 3x + 8 \).