giải bài 2

Câu 2: Để giải quyết bài toán này, ta cần tìm thời điểm mà mực nước trong hồ đạt giá trị lớn nhất trong ngày. Để làm điều này, ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( h(t) = 20t + 4t^2 - \frac{t^3}{3} \). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( h(t) \) Đạo hàm của hàm số \( h(t) \) là: \[ h'(t) = \frac{d}{dt}\left(20t + 4t^2 - \frac{t^3}{3}\right) = 20 + 8t - t^2 \] Bước 2: Tìm các điểm tới hạn Để tìm các điểm tới hạn, ta giải phương trình \( h'(t) = 0 \): \[ 20 + 8t - t^2 = 0 \] Đây là phương trình bậc hai, ta có thể viết lại thành: \[ -t^2 + 8t + 20 = 0 \] Đổi dấu để dễ giải: \[ t^2 - 8t - 20 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = 1 \), \( b = -8 \), \( c = -20 \), ta có: \[ t = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20)}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{144}}{2} \] \[ t = \frac{8 \pm 12}{2} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ t_1 = \frac{20}{2} = 10, \quad t_2 = \frac{-4}{2} = -2 \] Bước 3: Xác định giá trị lớn nhất Vì thời gian \( t \) trong ngày chỉ có ý nghĩa từ 0 đến 24 giờ, nên ta chỉ xét \( t = 10 \) (bỏ qua \( t = -2 \) vì không có ý nghĩa trong ngữ cảnh này). Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và biên Ta cần tính giá trị của hàm số tại \( t = 0 \), \( t = 10 \), và \( t = 24 \): - \( h(0) = 20 \cdot 0 + 4 \cdot 0^2 - \frac{0^3}{3} = 0 \) - \( h(10) = 20 \cdot 10 + 4 \cdot 10^2 - \frac{10^3}{3} = 200 + 400 - \frac{1000}{3} = 600 - \frac{1000}{3} = \frac{1800 - 1000}{3} = \frac{800}{3} \) - \( h(24) = 20 \cdot 24 + 4 \cdot 24^2 - \frac{24^3}{3} \) Tính \( h(24) \): \[ h(24) = 480 + 2304 - \frac{13824}{3} = 480 + 2304 - 4608 = -1824 \] Kết luận Giá trị lớn nhất của hàm số là \( \frac{800}{3} \) đạt được khi \( t = 10 \). Do đó, cần thông báo cho các hộ dân di dời trước khi xả nước 5 giờ, tức là trước 5 giờ sáng, nên thời điểm thông báo là lúc 5 giờ sáng.