cho ∆ABC có Â=45° C=30° và C=12 a) tính độ dài các cạnh còn lại b) tính R c) tính ha,HS,hc

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Tính độ dài các cạnh còn lại Cho tam giác \( \triangle ABC \) với \( \angle A = 45^\circ \), \( \angle C = 30^\circ \), và cạnh \( c = 12 \). Trước tiên, ta cần tính góc \( \angle B \) bằng cách sử dụng tổng các góc trong tam giác: \[ \angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ \] Sử dụng định lý sin để tính các cạnh còn lại: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] Tính cạnh \( a \): \[ \frac{a}{\sin 45^\circ} = \frac{12}{\sin 30^\circ} \] \[ a = \frac{12 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 12\sqrt{2} \] Tính cạnh \( b \): \[ \frac{b}{\sin 105^\circ} = \frac{12}{\sin 30^\circ} \] \[ b = \frac{12 \cdot \sin 105^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{12 \cdot \sin (180^\circ - 75^\circ)}{\frac{1}{2}} = \frac{12 \cdot \sin 75^\circ}{\frac{1}{2}} \] Sử dụng công thức \( \sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ \): \[ \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] \[ b = \frac{12 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}} = 12 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} = 6(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \] b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp \( R \) Sử dụng công thức: \[ R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{12\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = 12 \] c) Tính các đường cao \( h_a, h_b, h_c \) Đường cao \( h_a \): \[ h_a = \frac{2S}{a} \] Diện tích \( S \) của tam giác: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{2} \cdot 12 \cdot \sin 105^\circ \] \[ S = 72\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 18\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \] \[ h_a = \frac{2 \cdot 18\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{12\sqrt{2}} = 3(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \] Đường cao \( h_c \): \[ h_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 18\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{12} = 3\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \] Vậy, các độ dài cần tìm là: - Cạnh \( a = 12\sqrt{2} \) - Cạnh \( b = 6(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \) - Bán kính đường tròn ngoại tiếp \( R = 12 \) - Đường cao \( h_a = 3(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \) - Đường cao \( h_c = 3\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \)