Làm bài tậpp

Câu 19: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của biểu thức \( A = \frac{3\sin\alpha + 4\cos\alpha}{2\sin\alpha - 5\cos\alpha} \) khi biết \(\cot\alpha = \frac{1}{2}\). Bước 1: Tìm \(\sin\alpha\) và \(\cos\alpha\) từ \(\cot\alpha\). Ta có \(\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{1}{2}\). Điều này có nghĩa là \(\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin\alpha\). Bước 2: Sử dụng công thức lượng giác cơ bản \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\). Thay \(\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin\alpha\) vào công thức trên: \[ \sin^2\alpha + \left(\frac{1}{2}\sin\alpha\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2\alpha + \frac{1}{4}\sin^2\alpha = 1 \] \[ \frac{5}{4}\sin^2\alpha = 1 \] \[ \sin^2\alpha = \frac{4}{5} \] \[ \sin\alpha = \pm \sqrt{\frac{4}{5}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} \] Bước 3: Tìm \(\cos\alpha\). Vì \(\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin\alpha\), ta có: Nếu \(\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}\), thì \(\cos\alpha = \frac{1}{2} \times \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\). Nếu \(\sin\alpha = -\frac{2}{\sqrt{5}}\), thì \(\cos\alpha = \frac{1}{2} \times -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}}\). Bước 4: Tính giá trị của biểu thức \( A \). Trường hợp 1: \(\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}\) và \(\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}\). \[ A = \frac{3\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) + 4\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)}{2\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) - 5\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)} \] \[ = \frac{\frac{6}{\sqrt{5}} + \frac{4}{\sqrt{5}}}{\frac{4}{\sqrt{5}} - \frac{5}{\sqrt{5}}} \] \[ = \frac{\frac{10}{\sqrt{5}}}{-\frac{1}{\sqrt{5}}} \] \[ = -10 \] Trường hợp 2: \(\sin\alpha = -\frac{2}{\sqrt{5}}\) và \(\cos\alpha = -\frac{1}{\sqrt{5}}\). \[ A = \frac{3\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) + 4\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)}{2\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) - 5\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)} \] \[ = \frac{-\frac{6}{\sqrt{5}} - \frac{4}{\sqrt{5}}}{-\frac{4}{\sqrt{5}} + \frac{5}{\sqrt{5}}} \] \[ = \frac{-\frac{10}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{\sqrt{5}}} \] \[ = -10 \] Vậy, giá trị của biểu thức \( A \) là \(-10\). Câu 20: Để giải bài toán này, ta cần xác định độ dài đoạn thẳng \( MN \) trong hình vuông \( ABCD \). 1. Xác định vị trí các điểm: - Gọi \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(a, a) \), \( D(0, a) \) là tọa độ các đỉnh của hình vuông \( ABCD \). - Trung điểm \( M \) của \( AB \) có tọa độ là \( M\left(\frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0\right) \). - Điểm \( N \) là điểm đối xứng của \( C \) qua \( D \). Tọa độ của \( C \) là \( (a, a) \) và \( D \) là \( (0, a) \). Do đó, tọa độ của \( N \) sẽ là \( (0 - (a - 0), a) = (-a, a) \). 2. Tính độ dài đoạn thẳng \( MN \): - Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm \( M\left(\frac{a}{2}, 0\right) \) và \( N(-a, a) \): \[ MN = \sqrt{\left(-a - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(a - 0\right)^2} \] \[ = \sqrt{\left(-\frac{3a}{2}\right)^2 + a^2} \] \[ = \sqrt{\frac{9a^2}{4} + a^2} \] \[ = \sqrt{\frac{9a^2}{4} + \frac{4a^2}{4}} \] \[ = \sqrt{\frac{13a^2}{4}} \] \[ = \frac{a\sqrt{13}}{2} \] 3. So sánh với độ dài đã cho: Theo đề bài, độ dài \( MN = \frac{a\sqrt{6}}{2} \). Do đó, ta có phương trình: \[ \frac{a\sqrt{13}}{2} = \frac{a\sqrt{6}}{2} \] Điều này chỉ xảy ra khi \( \sqrt{13} = \sqrt{6} \), điều này không thể xảy ra. Có thể có sự nhầm lẫn trong đề bài hoặc trong quá trình tính toán. Tuy nhiên, theo cách tính toán trên, độ dài \( MN \) thực sự là \( \frac{a\sqrt{13}}{2} \). Vì vậy, không có giá trị \( a \) nào thỏa mãn điều kiện đã cho trong đề bài. Có thể có lỗi trong đề bài hoặc cần kiểm tra lại các bước tính toán.