Giải giúp tôi

Câu 6: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( F = y - x \), trước tiên chúng ta cần xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình: \[ \begin{cases} x - 2y \leq 4 \\ x + y \leq 4 \\ x \geq -2 \end{cases} \] Bước 1: Xác định miền nghiệm của từng bất phương trình 1. Bất phương trình \( x - 2y \leq 4 \): - Đường thẳng tương ứng: \( x - 2y = 4 \). - Tìm điểm cắt trục: - Với \( x = 0 \), \( -2y = 4 \Rightarrow y = -2 \). - Với \( y = 0 \), \( x = 4 \). - Miền nghiệm là nửa mặt phẳng dưới đường thẳng này. 2. Bất phương trình \( x + y \leq 4 \): - Đường thẳng tương ứng: \( x + y = 4 \). - Tìm điểm cắt trục: - Với \( x = 0 \), \( y = 4 \). - Với \( y = 0 \), \( x = 4 \). - Miền nghiệm là nửa mặt phẳng dưới đường thẳng này. 3. Bất phương trình \( x \geq -2 \): - Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bên phải đường thẳng \( x = -2 \). Bước 2: Xác định miền nghiệm chung Miền nghiệm chung là giao của ba miền nghiệm trên. Để tìm giao điểm của các đường thẳng, ta giải hệ phương trình: - Giao điểm của \( x - 2y = 4 \) và \( x + y = 4 \): \[ \begin{cases} x - 2y = 4 \\ x + y = 4 \end{cases} \] Trừ hai phương trình: \[ (x + y) - (x - 2y) = 4 - 4 \Rightarrow 3y = 0 \Rightarrow y = 0 \] Thay \( y = 0 \) vào \( x + y = 4 \): \[ x + 0 = 4 \Rightarrow x = 4 \] Vậy giao điểm là \( (4, 0) \). - Giao điểm của \( x - 2y = 4 \) và \( x = -2 \): \[ \begin{cases} x - 2y = 4 \\ x = -2 \end{cases} \] Thay \( x = -2 \) vào \( x - 2y = 4 \): \[ -2 - 2y = 4 \Rightarrow -2y = 6 \Rightarrow y = -3 \] Vậy giao điểm là \( (-2, -3) \). - Giao điểm của \( x + y = 4 \) và \( x = -2 \): \[ \begin{cases} x + y = 4 \\ x = -2 \end{cases} \] Thay \( x = -2 \) vào \( x + y = 4 \): \[ -2 + y = 4 \Rightarrow y = 6 \] Vậy giao điểm là \( (-2, 6) \). Bước 3: Tính giá trị của \( F = y - x \) tại các đỉnh của miền nghiệm - Tại \( (4, 0) \): \( F = 0 - 4 = -4 \). - Tại \( (-2, -3) \): \( F = -3 - (-2) = -1 \). - Tại \( (-2, 6) \): \( F = 6 - (-2) = 8 \). Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của \( F = y - x \) là \(-4\), đạt được khi \( (x, y) = (4, 0) \). Vậy đáp án đúng là C. -4.