giải chuyên môn chính xác

Câu 2: Để giải quyết các mệnh đề liên quan đến hàm số \( y = \frac{-x^2 + x + 1}{x + 1} \), ta cần thực hiện các bước phân tích sau: a) Tập xác định của hàm số: Hàm số có mẫu số là \( x + 1 \), do đó điều kiện xác định là \( x + 1 \neq 0 \). Vậy tập xác định của hàm số là \( D = \mathbb{R} \setminus \{-1\} \). Mệnh đề a) sai vì tập xác định là \( D = \mathbb{R} \setminus \{-1\} \), không phải \( D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \). b) Tiệm cận đứng: Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0. Xét \( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \). Tại \( x = -1 \), tử số là \(-(-1)^2 + (-1) + 1 = -1 - 1 + 1 = -1 \neq 0\). Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \( x = -1 \). Mệnh đề b) đúng. c) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số: Để tìm tâm đối xứng, ta cần viết lại hàm số dưới dạng \( y = ax + b + \frac{c}{x+d} \). Ta thực hiện phép chia đa thức: \[ \frac{-x^2 + x + 1}{x + 1} = -x + 2 + \frac{-1}{x+1} \] Vậy hàm số có dạng \( y = -x + 2 + \frac{-1}{x+1} \). Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là giao điểm của hai đường thẳng \( y = -x + 2 \) và \( x = -1 \). Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} y = -x + 2 \\ x = -1 \end{cases} \] Thay \( x = -1 \) vào phương trình \( y = -x + 2 \), ta có: \[ y = -(-1) + 2 = 1 + 2 = 3 \] Vậy tâm đối xứng là \( (-1, 3) \), không nằm trên đường thẳng \( y = x - 2 \). Mệnh đề c) sai. d) Tiệm cận xiên: Tiệm cận xiên có dạng \( y = ax + b \). Từ phép chia ở trên, ta thấy tiệm cận xiên là \( y = -x + 2 \). Kiểm tra xem tiệm cận xiên có đi qua điểm \( A(0, 2) \) không: Thay \( x = 0 \) vào phương trình tiệm cận xiên \( y = -x + 2 \), ta có: \[ y = -0 + 2 = 2 \] Điểm \( A(0, 2) \) nằm trên tiệm cận xiên \( y = -x + 2 \). Mệnh đề d) đúng. Tóm lại: - Mệnh đề a) sai. - Mệnh đề b) đúng. - Mệnh đề c) sai. - Mệnh đề d) đúng. Câu 1: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá bán tối ưu sao cho lợi nhuận lớn nhất. Chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định doanh thu và chi phí. 2. Thiết lập hàm lợi nhuận. 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận. Bước 1: Xác định doanh thu và chi phí Giả sử giá bán ban đầu là \( p \) triệu đồng một chiếc. Theo đề bài, nếu giảm giá 500 nghìn đồng (tương đương 0,5 triệu đồng), số lượng ti vi bán ra sẽ tăng 100 chiếc mỗi tuần. Do đó, nếu giá bán giảm \( x \) lần 0,5 triệu đồng, thì giá bán mới là: \[ p - 0,5x \] Số lượng ti vi bán ra sẽ là: \[ 1000 + 100x \] Doanh thu \( R \) từ việc bán ti vi là: \[ R = (p - 0,5x)(1000 + 100x) \] Chi phí \( C \) cho việc sản xuất và bán \( 1000 + 100x \) chiếc ti vi là: \[ C = 12000 - 3(1000 + 100x) \] \[ C = 12000 - 3000 - 300x \] \[ C = 9000 - 300x \] Bước 2: Thiết lập hàm lợi nhuận Lợi nhuận \( P \) là doanh thu trừ đi chi phí: \[ P = R - C \] \[ P = (p - 0,5x)(1000 + 100x) - (9000 - 300x) \] Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận Để tìm giá trị lớn nhất của \( P \), chúng ta cần lấy đạo hàm của \( P \) theo \( x \) và tìm giá trị \( x \) làm cho đạo hàm bằng 0. \[ P = (p - 0,5x)(1000 + 100x) - 9000 + 300x \] \[ P = p(1000 + 100x) - 0,5x(1000 + 100x) - 9000 + 300x \] \[ P = 1000p + 100px - 500x - 50x^2 - 9000 + 300x \] \[ P = 1000p + 100px - 50x^2 - 200x - 9000 \] Lấy đạo hàm của \( P \) theo \( x \): \[ \frac{dP}{dx} = 100p - 100x - 200 \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm giá trị cực đại: \[ 100p - 100x - 200 = 0 \] \[ 100p - 200 = 100x \] \[ p - 2 = x \] \[ x = p - 2 \] Thay \( x = p - 2 \) vào công thức giá bán mới: \[ p - 0,5(p - 2) \] \[ p - 0,5p + 1 \] \[ 0,5p + 1 \] Vậy giá bán tối ưu để lợi nhuận lớn nhất là: \[ 0,5p + 1 \] Kết luận: Nhà sản xuất nên đặt giá bán là \( 0,5p + 1 \) triệu đồng để lợi nhuận lớn nhất. Câu 2: Do đồ thị hàm số đi qua điểm M(0;2) nên ta thay tọa độ điểm M vào hàm số ta được: \(2=0+a×0+b×0+c\) Suy ra \(c=2\) Ta có \(y=x^3+ax^2+bx+2\) suy ra \(y'=3x^2+2ax+b\) Do đồ thị hàm số có điểm cực trị N(-4;0) nên ta thay tọa độ điểm N vào hàm số ta được: \(0=(-4)^3+a×(-4)^2+b×(-4)+2\) suy ra \( -64+16a-4b+2=0\) suy ra \(16a-4b=62\) suy ra \(8a-2b=31\quad (1)\) Lại có tại điểm N(-4;0) thì \(y'(-4)=0\) suy ra \(3×(-4)^2+2a×(-4)+b=0\) suy ra \(48-8a+b=0\) suy ra \(8a-b=48\quad (2)\) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} 8a-2b=31\\ 8a-b=48 \end{matrix}\right.\) Giải hệ phương trình trên ta được \(a=\frac{65}{8}; b=17\) Vậy \(8a+b+c=8×\frac{65}{8}+17+2=84\) Câu 3: Để giải bài toán này, ta cần tối ưu hóa thể tích của bể cá hình hộp chữ nhật không nắp với diện tích kính cho trước. Gọi chiều rộng của bể cá là \( x \) (m), chiều dài là \( 2x \) (m), và chiều cao là \( h \) (m). Bước 1: Thiết lập phương trình diện tích kính Diện tích kính sử dụng cho bể cá bao gồm diện tích đáy và diện tích bốn mặt bên. Do bể cá không có nắp, diện tích kính là: \[ A = 2x \cdot x + 2(xh + 2xh) = 2x^2 + 6xh \] Theo đề bài, diện tích kính là \( 5 \, m^2 \), do đó: \[ 2x^2 + 6xh = 5 \] Bước 2: Thiết lập hàm thể tích Thể tích của bể cá là: \[ V = x \cdot 2x \cdot h = 2x^2h \] Bước 3: Biểu diễn \( h \) theo \( x \) Từ phương trình diện tích kính, ta có: \[ 6xh = 5 - 2x^2 \] Suy ra: \[ h = \frac{5 - 2x^2}{6x} \] Bước 4: Biểu diễn thể tích theo \( x \) Thay \( h \) vào biểu thức thể tích: \[ V = 2x^2 \cdot \frac{5 - 2x^2}{6x} = \frac{2x(5 - 2x^2)}{6} = \frac{10x - 4x^3}{6} = \frac{5x - 2x^3}{3} \] Bước 5: Tìm giá trị lớn nhất của \( V \) Để tìm giá trị lớn nhất của \( V \), ta tính đạo hàm của \( V \) theo \( x \): \[ V' = \frac{d}{dx}\left(\frac{5x - 2x^3}{3}\right) = \frac{5 - 6x^2}{3} \] Đặt \( V' = 0 \): \[ 5 - 6x^2 = 0 \implies 6x^2 = 5 \implies x^2 = \frac{5}{6} \implies x = \sqrt{\frac{5}{6}} \] Bước 6: Kiểm tra điều kiện và tính thể tích Với \( x = \sqrt{\frac{5}{6}} \), ta tính \( h \): \[ h = \frac{5 - 2\left(\sqrt{\frac{5}{6}}\right)^2}{6\sqrt{\frac{5}{6}}} = \frac{5 - \frac{10}{6}}{6\sqrt{\frac{5}{6}}} = \frac{\frac{20}{6}}{6\sqrt{\frac{5}{6}}} = \frac{10}{18\sqrt{\frac{5}{6}}} \] Thể tích lớn nhất là: \[ V = \frac{5\sqrt{\frac{5}{6}} - 2\left(\sqrt{\frac{5}{6}}\right)^3}{3} \] Tính giá trị này và làm tròn đến hàng phần trăm: \[ V \approx 1.18 \, m^3 \] Vậy, dung tích lớn nhất của bể cá là khoảng \( 1.18 \, m^3 \). Câu 4: Để tìm giá trị của biểu thức \( Q = m - 2n \) trong đó \( A(m; n) \) là điểm cực đại của hàm số \( y = f(x) = -x^3 + 3x^2 + 1 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 + 3x^2 + 1) = -3x^2 + 6x \] 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ -3x^2 + 6x = 0 \] \[ -3x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] 3. Xác định tính chất của các điểm tới hạn bằng cách xét dấu của \( f'(x) \) hoặc sử dụng đạo hàm bậc hai: - Đạo hàm bậc hai: \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(-3x^2 + 6x) = -6x + 6 \] - Thay \( x = 0 \) vào \( f''(x) \): \[ f''(0) = -6(0) + 6 = 6 > 0 \quad \text{(điểm cực tiểu)} \] - Thay \( x = 2 \) vào \( f''(x) \): \[ f''(2) = -6(2) + 6 = -12 + 6 = -6 < 0 \quad \text{(điểm cực đại)} \] 4. Xác định tọa độ điểm cực đại \( A(m; n) \): - \( m = 2 \) - Thay \( x = 2 \) vào \( f(x) \) để tìm \( n \): \[ n = f(2) = -(2)^3 + 3(2)^2 + 1 = -8 + 12 + 1 = 5 \] 5. Tính giá trị của biểu thức \( Q = m - 2n \): \[ Q = 2 - 2 \cdot 5 = 2 - 10 = -8 \] Vậy giá trị của biểu thức \( Q \) là: \[ \boxed{-8} \]