giải giúppp

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu. a. Xét tính đồng biến, nghịch biến và tìm cực trị của hàm số Cho hàm số \( y = \frac{x^2 - x + 2}{x + 1} \). Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) Hàm số xác định khi mẫu số khác 0, tức là \( x + 1 \neq 0 \). Do đó, \( x \neq -1 \). Bước 2: Tính đạo hàm Ta tính đạo hàm của hàm số bằng quy tắc đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(2x - 1)(x + 1) - (x^2 - x + 2) \cdot 1}{(x + 1)^2} \] Rút gọn tử số: \[ = \frac{2x^2 + 2x - x^2 + x - 2x - 2}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 - 2}{(x + 1)^2} \] Bước 3: Xét dấu của đạo hàm - \( y' = 0 \) khi \( x^2 - 2 = 0 \) hay \( x^2 = 2 \). Do đó, \( x = \pm \sqrt{2} \). - Xét dấu của \( y' \): - Khi \( x < -\sqrt{2} \), \( y' > 0 \) (hàm số đồng biến). - Khi \( -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} \), \( y' < 0 \) (hàm số nghịch biến). - Khi \( x > \sqrt{2} \), \( y' > 0 \) (hàm số đồng biến). Bước 4: Tìm cực trị - Tại \( x = -\sqrt{2} \) và \( x = \sqrt{2} \), hàm số có cực trị. - Tính giá trị hàm số tại các điểm này: - \( y(-\sqrt{2}) = \frac{(-\sqrt{2})^2 + \sqrt{2} + 2}{-\sqrt{2} + 1} = \frac{2 + \sqrt{2} + 2}{-\sqrt{2} + 1} \) - \( y(\sqrt{2}) = \frac{(\sqrt{2})^2 - \sqrt{2} + 2}{\sqrt{2} + 1} = \frac{2 - \sqrt{2} + 2}{\sqrt{2} + 1} \) b. Tìm tất cả tiệm cận (nếu có) của đồ thị Tiệm cận đứng: - Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0. - \( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \). Tiệm cận ngang: - So sánh bậc của tử và mẫu: - Bậc của tử là 2, bậc của mẫu là 1. Vì bậc tử lớn hơn bậc mẫu, không có tiệm cận ngang. c. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên \([0;5]\) Bước 1: Tính giá trị hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị trong khoảng \([0;5]\) - Tính \( y(0) = \frac{0^2 - 0 + 2}{0 + 1} = 2 \). - Tính \( y(5) = \frac{5^2 - 5 + 2}{5 + 1} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3} \). - Điểm cực trị trong khoảng \([0;5]\) là \( x = \sqrt{2} \). - Tính \( y(\sqrt{2}) = \frac{2 - \sqrt{2} + 2}{\sqrt{2} + 1} \). Bước 2: So sánh các giá trị - So sánh \( y(0) = 2 \), \( y(5) = \frac{11}{3} \), và \( y(\sqrt{2}) \). - Giá trị nhỏ nhất là \( y(0) = 2 \). - Giá trị lớn nhất là \( y(5) = \frac{11}{3} \). Kết luận: GTNN của hàm số trên \([0;5]\) là 2, đạt được khi \( x = 0 \). GTLN là \(\frac{11}{3}\), đạt được khi \( x = 5 \).