Theo trường cấp 4

Câu 28: Để tìm chiều dài tối thiểu của chiếc thang, ta cần sử dụng kiến thức về tam giác và đạo hàm. Bước 1: Thiết lập bài toán Gọi \( L \) là chiều dài của chiếc thang. Chiếc thang tạo thành một tam giác vuông với bức tường và mặt đất. Gọi \( x \) là khoảng cách từ chân thang đến chân tường. Theo hình vẽ, ta có: - Chiều cao của bức tường là \( 2 \) m. - Khoảng cách từ bức tường đến tòa nhà là \( 2 \) m. Bước 2: Biểu thức cho chiều dài thang Chiếc thang sẽ tạo thành một tam giác vuông với: - Một cạnh là \( x + 2 \) (khoảng cách từ chân thang đến tòa nhà). - Một cạnh là \( 2 \) (chiều cao của bức tường). Theo định lý Pythagore, ta có: \[ L = \sqrt{(x + 2)^2 + 2^2} \] Bước 3: Tìm giá trị tối thiểu của \( L \) Để tìm giá trị tối thiểu của \( L \), ta cần tìm giá trị tối thiểu của hàm số: \[ f(x) = \sqrt{(x + 2)^2 + 4} \] Ta xét hàm số: \[ g(x) = (x + 2)^2 + 4 \] Tìm đạo hàm của \( g(x) \): \[ g'(x) = 2(x + 2) \] Giải phương trình \( g'(x) = 0 \): \[ 2(x + 2) = 0 \implies x = -2 \] Bước 4: Kiểm tra điều kiện và tính giá trị Vì \( x \) là khoảng cách từ chân thang đến chân tường, nên \( x \geq 0 \). Do đó, ta cần kiểm tra giá trị tại \( x = 0 \). Tính \( L \) tại \( x = 0 \): \[ L = \sqrt{(0 + 2)^2 + 4} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] Kết luận Chiều dài tối thiểu của chiếc thang là \( 2\sqrt{2} \) mét.