giải chuyên môn

Câu 1: Để tìm giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số \( y = \frac{x^2 + 5}{x - 2} \) trên đoạn \([-2; 1]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y = \frac{x^2 + 5}{x - 2} \] Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(2x)(x - 2) - (x^2 + 5)(1)}{(x - 2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - x^2 - 5}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x - 5}{(x - 2)^2} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ \frac{x^2 - 4x - 5}{(x - 2)^2} = 0 \] Điều này xảy ra khi: \[ x^2 - 4x - 5 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2} \] Ta có: \[ x = 5 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Vì \( x = 5 \) không nằm trong đoạn \([-2; 1]\), nên chỉ xét \( x = -1 \). 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn: - Tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = \frac{(-1)^2 + 5}{-1 - 2} = \frac{1 + 5}{-3} = \frac{6}{-3} = -2 \] - Tại \( x = -2 \): \[ y(-2) = \frac{(-2)^2 + 5}{-2 - 2} = \frac{4 + 5}{-4} = \frac{9}{-4} = -\frac{9}{4} \] - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = \frac{1^2 + 5}{1 - 2} = \frac{1 + 5}{-1} = \frac{6}{-1} = -6 \] 4. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: - Giá trị lớn nhất \( M \) là \(-2\) (đạt được tại \( x = -1 \)). - Giá trị nhỏ nhất \( m \) là \(-6\) (đạt được tại \( x = 1 \)). 5. Tính \( T = M + 2m \): \[ T = -2 + 2(-6) = -2 - 12 = -14 \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~T = -14} \] Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần kiểm tra từng đẳng thức vectơ được cho và xác định đẳng thức nào là đúng. 1. Đẳng thức A: \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \] Đẳng thức này không đúng vì vế trái chỉ là vectơ \(\overrightarrow{AC}\), trong khi vế phải là tổng của ba vectơ \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AB}\), và \(\overrightarrow{AD}\). 2. Đẳng thức B: \[ \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DD} + \overrightarrow{DC} \] Đẳng thức này không đúng vì \(\overrightarrow{DD}\) là vectơ không (do \(D\) trùng với \(D\)), và \(\overrightarrow{DB}\) không thể được biểu diễn bằng tổng của \(\overrightarrow{DA}\) và \(\overrightarrow{DC}\) theo cách này. 3. Đẳng thức C: \[ \overrightarrow{DB'} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DD'} + \overrightarrow{DC} \] Đẳng thức này không đúng vì \(\overrightarrow{DB'}\) không thể được biểu diễn bằng tổng của \(\overrightarrow{DA}\), \(\overrightarrow{DD'}\), và \(\overrightarrow{DC}\) theo cách này. 4. Đẳng thức D: \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \] Đẳng thức này không đúng vì vế phải là tổng của hai lần \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AD}\), không thể bằng \(\overrightarrow{AC}\). Sau khi kiểm tra từng đẳng thức, không có đẳng thức nào trong các lựa chọn A, B, C, D là đúng. Tuy nhiên, nếu có một lỗi trong việc sao chép hoặc một lựa chọn bị thiếu, chúng ta cần kiểm tra lại đề bài hoặc các lựa chọn khác có thể có. Trong trường hợp này, không có đẳng thức nào là đúng theo các lựa chọn đã cho. Câu 3: Để tìm giá trị cực tiểu của hàm số dựa vào bảng biến thiên, ta cần xem xét các điểm mà đạo hàm \( y' \) đổi dấu từ âm sang dương, vì đó là các điểm cực tiểu. Dựa vào bảng biến thiên: - Tại \( x = -2 \), \( y' \) đổi dấu từ dương sang âm, nên đây là điểm cực đại. - Tại \( x = 0 \), \( y' \) đổi dấu từ âm sang âm, không có cực trị. - Tại \( x = 2 \), \( y' \) đổi dấu từ âm sang dương, nên đây là điểm cực tiểu. Từ bảng biến thiên, giá trị của hàm số tại \( x = 2 \) là \( y = -4 \). Vậy, giá trị cực tiểu của hàm số là \(-4\). Đáp án đúng là B. -4. Câu 4: Để xác định đồ thị hàm số nào trong các phương án đã cho, ta cần phân tích đặc điểm của đồ thị trong hình. 1. Dạng đồ thị: - Đồ thị có dạng hình chữ S, đặc trưng của hàm bậc ba. 2. Hướng của đồ thị: - Đồ thị đi từ góc phần tư thứ hai xuống góc phần tư thứ tư, cho thấy hệ số của \(x^3\) là âm. 3. Xét các phương án: - \(A.~y = x^3 - 3x + 1\): Hệ số của \(x^3\) là dương, không phù hợp. - \(\textcircled B.~y = -x^3 + 3x + 1\): Hệ số của \(x^3\) là âm, phù hợp. - \(C.~y = -x^3 + 3x - 1\): Hệ số của \(x^3\) là âm, phù hợp. - \(D.~y = x^3 - 3x - 1\): Hệ số của \(x^3\) là dương, không phù hợp. 4. Điểm cắt trục tung: - Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương, phù hợp với \(\textcircled B.~y = -x^3 + 3x + 1\) (vì \(y\) cắt trục tung tại \(y = 1\)). 5. Kết luận: - Đồ thị trong hình là của hàm số \(\textcircled B.~y = -x^3 + 3x + 1\). Câu 5: Để xác định hàm số nào phù hợp với bảng biến thiên đã cho, ta cần phân tích các đặc điểm của bảng biến thiên và so sánh với các hàm số đã cho. Phân tích bảng biến thiên: 1. Tiệm cận đứng: Tại \( x = 2 \), hàm số có tiệm cận đứng. 2. Giá trị tiệm cận ngang: Khi \( x \to \pm \infty \), \( y \to 2 \). 3. Chiều biến thiên: - Khi \( x < 2 \), hàm số giảm từ \( +\infty \) xuống 2. - Khi \( x > 2 \), hàm số giảm từ 2 xuống \( -\infty \). Phân tích các hàm số: 1. Hàm số A: \( y = \frac{x+3}{x-2} \) - Tiệm cận đứng: \( x = 2 \). - Tiệm cận ngang: \( y = 1 \) (vì hệ số của \( x \) là 1). - Không phù hợp với bảng biến thiên. 2. Hàm số B: \( y = \frac{-2x-3}{x-2} \) - Tiệm cận đứng: \( x = 2 \). - Tiệm cận ngang: \( y = -2 \). - Không phù hợp với bảng biến thiên. 3. Hàm số C: \( y = \frac{2x-5}{x-2} \) - Tiệm cận đứng: \( x = 2 \). - Tiệm cận ngang: \( y = 2 \). - Khi \( x < 2 \), hàm số giảm từ \( +\infty \) xuống 2. - Khi \( x > 2 \), hàm số giảm từ 2 xuống \( -\infty \). - Phù hợp với bảng biến thiên. 4. Hàm số D: \( y = \frac{2x+3}{x-2} \) - Tiệm cận đứng: \( x = 2 \). - Tiệm cận ngang: \( y = 2 \). - Khi \( x < 2 \), hàm số tăng từ \( -\infty \) lên 2. - Khi \( x > 2 \), hàm số tăng từ 2 lên \( +\infty \). - Không phù hợp với bảng biến thiên. Kết luận: Hàm số phù hợp với bảng biến thiên là hàm số C: \( y = \frac{2x-5}{x-2} \).