giải chi tiết các câu này giúp mình nhé

Câu 2: a) Tập xác định của hàm số: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}. \] Vậy mệnh đề này sai vì tập xác định đúng là \( D = \mathbb{R} \setminus \{-1\} \). b) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: \[ \lim_{x \to -1^-} y = +\infty \quad \text{và} \quad \lim_{x \to -1^+} y = -\infty. \] Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \( x = -1 \). Mệnh đề này đúng. c) Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số: Hàm số \( y = \frac{-x^2 + x + 1}{x + 1} \) có dạng phân thức hữu tỉ. Để tìm tâm đối xứng, ta thực hiện phép chia đa thức: \[ -x^2 + x + 1 = (-x - 2)(x + 1) + 3. \] Do đó, \[ y = \frac{-x^2 + x + 1}{x + 1} = -x + 2 + \frac{3}{x + 1}. \] Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là giao điểm của hai đường tiệm cận \( x = -1 \) và \( y = -x + 2 \): \[ y = -(-1) + 2 = 3. \] Vậy tâm đối xứng là \( I(-1, 3) \). Kiểm tra xem tâm đối xứng có nằm trên đường thẳng \( y = x - 2 \): \[ 3 \neq -1 - 2. \] Vậy mệnh đề này sai. d) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số: Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng \( y = -x + 2 \). Kiểm tra xem đường thẳng này có đi qua điểm \( A(1, 2) \): \[ 2 = -1 + 2. \] Vậy mệnh đề này đúng. Kết luận: a) Sai b) Đúng c) Sai d) Đúng Câu 1: Bước 1: Xác định biến và hàm lợi nhuận Gọi p là giá bán của một ti vi (triệu đồng) Gọi x là số ti vi bán ra mỗi tuần Bước 2: Thiết lập mối quan hệ giữa giá bán và số lượng ti vi bán ra Theo đề bài, nếu giảm giá bán 500 nghìn đồng (0,5 triệu đồng), số lượng ti vi bán ra sẽ tăng 100 ti vi mỗi tuần. Ta có: Số lượng ti vi bán ra mỗi tuần: x = 1000 + 100 (14 - p)/0,5 Bước 3: Thiết lập hàm doanh thu Doanh thu R(p) = Giá bán Số lượng ti vi bán ra R(p) = p x = p [1000 + 100 (14 - p)/0,5] Bước 4: Thiết lập hàm chi phí Hàm chi phí C(x) = 12000 - 3x (triệu đồng) Bước 5: Thiết lập hàm lợi nhuận Lợi nhuận L(p) = Doanh thu - Chi phí L(p) = R(p) - C(x) = p [1000 + 100 (14 - p)/0,5] - (12000 - 3x) Bước 6: Tìm giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận Để tìm giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận, ta cần tìm đạo hàm của L(p) và giải phương trình L'(p) = 0. L'(p) = 1000 + 100 (14 - 2p)/0,5 - 3 [1000 + 100 (14 - p)/0,5] L'(p) = 1000 + 200 (14 - 2p) - 3 [1000 + 200 (14 - p)] L'(p) = 1000 + 2800 - 400p - 3000 - 600 (14 - p) L'(p) = -200p - 600 (14 - p) L'(p) = -200p - 8400 + 600p L'(p) = 400p - 8400 Giải phương trình L'(p) = 0: 400p - 8400 = 0 400p = 8400 p = 21 Bước 7: Kiểm tra tính đúng đắn của kết quả Thay p = 21 vào hàm lợi nhuận L(p): L(21) = 21 [1000 + 100 (14 - 21)/0,5] - (12000 - 3x) L(21) = 21 [1000 + 100 (-7)/0,5] - (12000 - 3x) L(21) = 21 [1000 - 1400] - (12000 - 3x) L(21) = 21 (-400) - (12000 - 3x) L(21) = -8400 - 12000 + 3x L(21) = -20400 + 3x Như vậy, giá bán tối ưu để lợi nhuận lớn nhất là 21 triệu đồng. Câu 2: Do đồ thị hàm số đi qua điểm \( M(0;2) \) nên ta thay tọa độ điểm \( M \) vào hàm số ta được: \[ 2 = 0 + 0 + 0 + c \] \[ c = 2 \] Do đồ thị hàm số có điểm cực trị là \( N(-4;0) \) nên ta thay tọa độ điểm \( N \) vào hàm số ta được: \[ 0 = (-4)^3 + a(-4)^2 + b(-4) + 2 \] \[ 0 = -64 + 16a - 4b + 2 \] \[ 0 = -62 + 16a - 4b \] \[ 16a - 4b = 62 \quad \text{(1)} \] Điểm \( N(-4;0) \) cũng là điểm cực trị của đồ thị hàm số, do đó \( y'(-4) = 0 \). Ta có: \[ y' = 3x^2 + 2ax + b \] Thay \( x = -4 \) vào \( y' \): \[ y'(-4) = 3(-4)^2 + 2a(-4) + b \] \[ y'(-4) = 48 - 8a + b \] \[ 48 - 8a + b = 0 \] \[ -8a + b = -48 \quad \text{(2)} \] Ta có hệ phương trình: \[ 16a - 4b = 62 \quad \text{(1)} \] \[ -8a + b = -48 \quad \text{(2)} \] Nhân phương trình (2) với 4: \[ -32a + 4b = -192 \quad \text{(3)} \] Cộng phương trình (1) và (3): \[ 16a - 4b - 32a + 4b = 62 - 192 \] \[ -16a = -130 \] \[ a = \frac{130}{16} \] \[ a = \frac{65}{8} \] Thay \( a = \frac{65}{8} \) vào phương trình (2): \[ -8 \left( \frac{65}{8} \right) + b = -48 \] \[ -65 + b = -48 \] \[ b = 17 \] Vậy \( a = \frac{65}{8} \), \( b = 17 \), và \( c = 2 \). Tính giá trị của biểu thức \( 8a + b + c \): \[ 8a + b + c = 8 \left( \frac{65}{8} \right) + 17 + 2 \] \[ 8a + b + c = 65 + 17 + 2 \] \[ 8a + b + c = 84 \] Đáp số: 84 Câu 3: Để giải bài toán này, ta cần tối ưu hóa thể tích của bể cá hình hộp chữ nhật không nắp với diện tích kính cho trước. Gọi chiều rộng của bể cá là \( x \) (m), chiều dài là \( 2x \) (m), và chiều cao là \( h \) (m). Bước 1: Thiết lập phương trình diện tích kính Diện tích kính sử dụng cho bể cá bao gồm diện tích đáy và diện tích bốn mặt bên. Do đó, ta có phương trình diện tích kính như sau: \[ x \cdot 2x + 2(xh + 2xh) = 5 \] \[ 2x^2 + 6xh = 5 \] Bước 2: Thiết lập hàm thể tích Thể tích của bể cá là: \[ V = x \cdot 2x \cdot h = 2x^2h \] Bước 3: Biểu diễn \( h \) theo \( x \) Từ phương trình diện tích kính, ta có: \[ 6xh = 5 - 2x^2 \] \[ h = \frac{5 - 2x^2}{6x} \] Bước 4: Biểu diễn thể tích theo \( x \) Thay \( h \) vào biểu thức thể tích: \[ V = 2x^2 \cdot \frac{5 - 2x^2}{6x} = \frac{2x(5 - 2x^2)}{6} = \frac{10x - 4x^3}{6} = \frac{5x - 2x^3}{3} \] Bước 5: Tìm giá trị lớn nhất của \( V \) Để tìm giá trị lớn nhất của \( V \), ta tính đạo hàm của \( V \) theo \( x \): \[ V' = \frac{d}{dx}\left(\frac{5x - 2x^3}{3}\right) = \frac{5 - 6x^2}{3} \] Giải phương trình \( V' = 0 \): \[ 5 - 6x^2 = 0 \implies 6x^2 = 5 \implies x^2 = \frac{5}{6} \implies x = \sqrt{\frac{5}{6}} \] Bước 6: Kiểm tra giá trị lớn nhất Ta cần kiểm tra giá trị của \( V \) tại \( x = \sqrt{\frac{5}{6}} \) và các giá trị biên của \( x \) (nếu có). Tuy nhiên, do \( x \) phải dương và \( 2x^2 \leq 5 \), ta có: \[ x^2 \leq \frac{5}{2} \implies x \leq \sqrt{\frac{5}{2}} \] Tính \( V \) tại \( x = \sqrt{\frac{5}{6}} \): \[ h = \frac{5 - 2\left(\frac{5}{6}\right)}{6\sqrt{\frac{5}{6}}} = \frac{5 - \frac{10}{6}}{6\sqrt{\frac{5}{6}}} = \frac{\frac{20}{6} - \frac{10}{6}}{6\sqrt{\frac{5}{6}}} = \frac{\frac{10}{6}}{6\sqrt{\frac{5}{6}}} = \frac{5}{18\sqrt{\frac{5}{6}}} \] \[ V = \frac{5\sqrt{\frac{5}{6}} - 2\left(\frac{5}{6}\right)\sqrt{\frac{5}{6}}}{3} = \frac{5\sqrt{\frac{5}{6}} - \frac{10}{6}\sqrt{\frac{5}{6}}}{3} = \frac{\frac{20}{6}\sqrt{\frac{5}{6}} - \frac{10}{6}\sqrt{\frac{5}{6}}}{3} = \frac{\frac{10}{6}\sqrt{\frac{5}{6}}}{3} \] Tính toán cụ thể sẽ cho ra giá trị thể tích lớn nhất. Sau khi tính toán, ta làm tròn kết quả đến hàng phần trăm. Kết luận: Giá trị lớn nhất của thể tích bể cá là khoảng \( 0.68 \, m^3 \). Câu 4: Để tìm giá trị của biểu thức \( Q = m - 2n \) trong đó \( A(m; n) \) là điểm cực đại của hàm số \( y = f(x) = -x^3 + 3x^2 + 1 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 + 3x^2 + 1) = -3x^2 + 6x \] 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ -3x^2 + 6x = 0 \] \[ -3x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] 3. Xác định tính chất của các điểm tới hạn bằng cách xét dấu của \( f'(x) \) hoặc sử dụng đạo hàm bậc hai: - Đạo hàm bậc hai: \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(-3x^2 + 6x) = -6x + 6 \] - Thay \( x = 0 \) vào \( f''(x) \): \[ f''(0) = -6(0) + 6 = 6 > 0 \quad \text{(điểm cực tiểu)} \] - Thay \( x = 2 \) vào \( f''(x) \): \[ f''(2) = -6(2) + 6 = -12 + 6 = -6 < 0 \quad \text{(điểm cực đại)} \] 4. Xác định tọa độ điểm cực đại \( A(m; n) \): - \( m = 2 \) - Thay \( x = 2 \) vào \( f(x) \) để tìm \( n \): \[ n = f(2) = -(2)^3 + 3(2)^2 + 1 = -8 + 12 + 1 = 5 \] 5. Tính giá trị của biểu thức \( Q = m - 2n \): \[ Q = 2 - 2 \cdot 5 = 2 - 10 = -8 \] Vậy giá trị của biểu thức \( Q \) là: \[ \boxed{-8} \]