giải chi tiết toán 12

Câu 1: Để tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = \frac{3x^2 - 7x}{x - 4} \), ta thực hiện phép chia đa thức \( 3x^2 - 7x \) cho \( x - 4 \). Bước 1: Thực hiện phép chia: \[ \begin{array}{r|rr} 3x + 5 & x - 4 \overline{\smash{)} 3x^2 - 7x} \\ \hline & 3x^2 - 12x \\ \hline & 5x \\ & 5x - 20 \\ \hline & 20 \\ \end{array} \] Kết quả của phép chia là \( 3x + 5 \) dư \( 20 \). Do đó, ta có: \[ y = \frac{3x^2 - 7x}{x - 4} = 3x + 5 + \frac{20}{x - 4}. \] Bước 2: Xác định đường tiệm cận xiên: Khi \( x \to \pm \infty \), phần \( \frac{20}{x - 4} \) tiến đến 0. Vì vậy, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: \[ y = 3x + 5. \] Bước 3: Xác định các hệ số \( a \) và \( b \): So sánh với dạng tổng quát \( y = ax + b \), ta thấy: \[ a = 3 \quad \text{và} \quad b = 5. \] Bước 4: Tính giá trị của biểu thức \( T = 2a - 7b \): \[ T = 2(3) - 7(5) = 6 - 35 = -29. \] Vậy giá trị của biểu thức \( T \) là: \[ \boxed{-29}. \] Câu 2: Để tìm tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( f(x) = -x^3 + 6x^2 - 3x - 5 \), ta cần xác định điểm \( I(x_0; y_0) \). Trước tiên, ta biết rằng tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) là điểm \( I \left( -\frac{b}{3a}, f\left(-\frac{b}{3a}\right) \right) \). Áp dụng vào hàm số đã cho: \[ f(x) = -x^3 + 6x^2 - 3x - 5 \] Ta có \( a = -1 \), \( b = 6 \), \( c = -3 \), và \( d = -5 \). Tìm \( x_0 \): \[ x_0 = -\frac{b}{3a} = -\frac{6}{3(-1)} = -\frac{6}{-3} = 2 \] Tiếp theo, ta tính \( y_0 \) bằng cách thay \( x_0 = 2 \) vào hàm số \( f(x) \): \[ y_0 = f(2) = -(2)^3 + 6(2)^2 - 3(2) - 5 \] \[ y_0 = -8 + 24 - 6 - 5 \] \[ y_0 = 5 \] Vậy tọa độ tâm đối xứng \( I \) là \( (2; 5) \). Bây giờ, ta tính giá trị của \( 6x_0 - y_0 \cdot 7 \): \[ 6x_0 - y_0 \cdot 7 = 6(2) - 5 \cdot 7 \] \[ 6x_0 - y_0 \cdot 7 = 12 - 35 \] \[ 6x_0 - y_0 \cdot 7 = -23 \] Do đó, giá trị của \( 6x_0 - y_0 \cdot 7 \) là \(-23\). Câu 3: Để tính $\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b})$, ta sử dụng tính chất phân phối của tích vô hướng: \[ \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \] 1. Tính $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}$: Tích vô hướng của một vectơ với chính nó là bình phương độ dài của vectơ đó: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} = |\overrightarrow{a}|^2 = 7^2 = 49 \] 2. Tính $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$: Sử dụng công thức tích vô hướng: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos(\theta) \] Với $\theta = 50^\circ$, ta có: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 7 \cdot 2 \cdot \cos(50^\circ) \] Sử dụng máy tính để tính $\cos(50^\circ) \approx 0.6428$, ta có: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \approx 7 \cdot 2 \cdot 0.6428 = 8.9992 \] Làm tròn đến hàng đơn vị, ta có $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \approx 9$. 3. Tính $\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b})$: \[ \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = 49 - 9 = 40 \] Vậy, $\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) \approx 40$. Câu 4: Để tìm vận tốc \( v \) của chất điểm sau 6 giây, chúng ta cần tính đạo hàm của hàm quãng đường \( s(t) \) theo thời gian \( t \). Hàm quãng đường: \[ s(t) = 3t^4 + 7t^3 - 5t^2 \] Đạo hàm \( s(t) \) theo \( t \) để tìm hàm vận tốc \( v(t) \): \[ v(t) = \frac{d}{dt} s(t) = \frac{d}{dt} (3t^4 + 7t^3 - 5t^2) \] Tính đạo hàm từng hạng tử: \[ \frac{d}{dt} (3t^4) = 12t^3 \] \[ \frac{d}{dt} (7t^3) = 21t^2 \] \[ \frac{d}{dt} (-5t^2) = -10t \] Do đó, hàm vận tốc \( v(t) \) là: \[ v(t) = 12t^3 + 21t^2 - 10t \] Bây giờ, chúng ta thay \( t = 6 \) vào hàm vận tốc để tìm giá trị của \( v \) tại thời điểm 6 giây: \[ v(6) = 12(6)^3 + 21(6)^2 - 10(6) \] Tính toán từng phần: \[ 12(6)^3 = 12 \times 216 = 2592 \] \[ 21(6)^2 = 21 \times 36 = 756 \] \[ -10(6) = -60 \] Cộng tất cả lại: \[ v(6) = 2592 + 756 - 60 = 3288 \] Vậy, vận tốc của chất điểm sau 6 giây là: \[ v = 3288 \text{ cm/s} \]