giải theo sách toán cánh diều 11

Để xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số $(u_n)$ với $u_n = \frac{n+1}{n}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính $u_{n+1}$: \[ u_{n+1} = \frac{(n+1)+1}{n+1} = \frac{n+2}{n+1}. \] Bước 2: So sánh $u_{n+1}$ và $u_n$ để xét tính tăng, giảm: \[ u_{n+1} - u_n = \frac{n+2}{n+1} - \frac{n+1}{n}. \] \[ = \frac{n(n+2) - (n+1)^2}{n(n+1)} \] \[ = \frac{n^2 + 2n - (n^2 + 2n + 1)}{n(n+1)} \] \[ = \frac{n^2 + 2n - n^2 - 2n - 1}{n(n+1)} \] \[ = \frac{-1}{n(n+1)}. \] Vì $\frac{-1}{n(n+1)} < 0$ với mọi $n \geq 1$, nên $u_{n+1} < u_n$. Do đó, dãy số $(u_n)$ là dãy số giảm. Bước 3: Xét tính bị chặn: - Dãy số giảm nên bị chặn trên bởi $u_1$: \[ u_1 = \frac{1+1}{1} = 2. \] - Ta chứng minh dãy số bị chặn dưới bởi 1: \[ u_n = \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n} > 1 \text{ với mọi } n \geq 1. \] Do đó, dãy số $(u_n)$ bị chặn trong khoảng $(1, 2]$. Kết luận: - Dãy số $(u_n)$ là dãy số giảm. - Dãy số $(u_n)$ bị chặn trong khoảng $(1, 2]$.