Toán lớp 11

Câu 8: Để xác định số đo của góc lượng giác \((Ou, Ov)\), ta cần xem xét hướng quay từ tia \(Ou\) đến tia \(Ov\). 1. Xác định hướng quay: - Theo hình vẽ, hướng quay từ \(Ou\) đến \(Ov\) là theo chiều kim đồng hồ. 2. Số đo góc lượng giác: - Khi quay theo chiều kim đồng hồ, số đo góc lượng giác sẽ là số âm. - Góc hình học \(\widehat{uOv} = 40^\circ\). 3. Kết luận: - Số đo của góc lượng giác \((Ou, Ov)\) là \(-40^\circ\). Vậy đáp án đúng là \(A.~ -40^\circ\). Câu 9: Để xác định hàm số của đồ thị trong hình, ta cần xem xét các đặc điểm của đồ thị: 1. Đặc điểm của đồ thị: - Đồ thị có các đường tiệm cận đứng tại các điểm \(x = -\pi, 0, \pi, 2\pi, \ldots\). - Đồ thị có dạng các nhánh cong, không cắt trục tung. 2. Phân tích các đáp án: - \(y = \sin x\) và \(y = \cos x\) là các hàm số tuần hoàn với biên độ từ -1 đến 1, không có tiệm cận đứng. - \(y = \tan x\) có các tiệm cận đứng tại \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\). - \(y = \cot x\) có các tiệm cận đứng tại \(x = k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\). 3. Kết luận: - Đồ thị có các tiệm cận đứng tại \(x = -\pi, 0, \pi, 2\pi, \ldots\), phù hợp với hàm số \(y = \cot x\). Vậy, đồ thị trong hình là của hàm số \(y = \cot x\). Đáp án đúng là \(A. ~ y = \cot x\). Câu 10: Theo bảng số liệu đã cho, số học sinh có thời gian tập thể dục trong ngày từ 20 phút đến dưới 40 phút thuộc vào khoảng [20;40). Từ bảng số liệu, ta thấy số học sinh thuộc khoảng này là 13. Do đó, đáp án đúng là: A. 13. Câu 11: Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện nhiều lần nhất trong dãy số liệu. Trong bảng số liệu đã cho, ta thấy: - Nhóm [0;5) có 3 cây. - Nhóm [5;10) có 8 cây. - Nhóm [10;15) có 7 cây. - Nhóm [15;20) có 3 cây. Như vậy, nhóm [5;10) có số lượng cây nhiều nhất (8 cây). Do đó, nhóm chứa mốt của mẫu số liệu này là [5;10). Đáp án đúng là: $C.~[5;10).$ Câu 12: Để kiểm tra các công thức lượng giác, chúng ta sẽ sử dụng công thức cộng góc và biến đổi để so sánh với các đáp án đã cho. Công thức cộng góc: \[ \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \] \[ \sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b \] Cộng hai công thức trên: \[ \sin(a + b) + \sin(a - b) = (\sin a \cos b + \cos a \sin b) + (\sin a \cos b - \cos a \sin b) \] \[ \sin(a + b) + \sin(a - b) = 2 \sin a \cos b \] Bây giờ, chúng ta sẽ thay \( a \) và \( b \) bằng \( \frac{a+b}{2} \) và \( \frac{a-b}{2} \): \[ \sin \left( \frac{a+b}{2} + \frac{a-b}{2} \right) + \sin \left( \frac{a+b}{2} - \frac{a-b}{2} \right) = 2 \sin \left( \frac{a+b}{2} \right) \cos \left( \frac{a-b}{2} \right) \] \[ \sin a + \sin b = 2 \sin \left( \frac{a+b}{2} \right) \cos \left( \frac{a-b}{2} \right) \] So sánh với các đáp án: - Đáp án A: \( \sin a + \sin b = -2 \sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2} \) - Đáp án B: \( \sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} \) - Đáp án C: \( \sin a + \sin b = 2 \cos \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} \) - Đáp án D: \( \sin a + \sin b = 2 \cos \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2} \) Rõ ràng, đáp án B là đúng vì nó khớp với kết quả chúng ta vừa tìm ra. Vậy, công thức đúng là: \[ \boxed{B.~\sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2}} \]