đúng sai ok men

Câu 15.7: Để giải quyết các phần a), b), c) và d) của bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: Phần a) Tìm \( v_1 \) Biết rằng: \[ u_1 = 8 \] và \[ v_n = u_n - 3 \] Do đó: \[ v_1 = u_1 - 3 = 8 - 3 = 5 \] Vậy: \[ v_1 = 5 \] Phần b) Chứng minh dãy số \( (v_n) \) là một cấp số nhân có công bội \( q = 4 \) Ta có: \[ u_{n+1} = 4u_n - 9 \] Suy ra: \[ v_{n+1} = u_{n+1} - 3 = (4u_n - 9) - 3 = 4u_n - 12 \] Mặt khác: \[ v_n = u_n - 3 \Rightarrow u_n = v_n + 3 \] Thay vào biểu thức trên: \[ v_{n+1} = 4(v_n + 3) - 12 = 4v_n + 12 - 12 = 4v_n \] Vậy: \[ v_{n+1} = 4v_n \] Điều này chứng tỏ dãy số \( (v_n) \) là một cấp số nhân với công bội \( q = 4 \). Phần c) Công thức của số hạng tổng quát \( v_n \) Dãy số \( (v_n) \) là một cấp số nhân với số hạng đầu tiên \( v_1 = 5 \) và công bội \( q = 4 \). Công thức tổng quát của một cấp số nhân là: \[ v_n = v_1 \cdot q^{n-1} \] Do đó: \[ v_n = 5 \cdot 4^{n-1} \] Phần d) Công thức của số hạng tổng quát \( u_n \) Ta có: \[ v_n = u_n - 3 \] Suy ra: \[ u_n = v_n + 3 \] Thay \( v_n \) từ phần c): \[ u_n = 5 \cdot 4^{n-1} + 3 \] Vậy: \[ u_n = 3 + 5 \cdot 4^{n-1} \] Kết luận a) \( v_1 = 5 \) b) Dãy số \( (v_n) \) là một cấp số nhân có công bội \( q = 4 \). c) Công thức của số hạng tổng quát \( v_n \) là \( v_n = 5 \cdot 4^{n-1} \). d) Công thức của số hạng tổng quát \( u_n \) là \( u_n = 3 + 5 \cdot 4^{n-1} \). Câu 15.8: Để giải quyết các phần của bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định. Phần a) Số hạng đầu \( u_1 = -2 \), số hạng thứ hai \( u_2 = 2 \). Ta biết rằng tổng \( S_n \) của \( n \) số hạng đầu tiên của dãy số \( (u_n) \) được cho bởi: \[ S_n = 2n^2 - 4n \] Số hạng đầu \( u_1 \) là: \[ u_1 = S_1 = 2(1)^2 - 4(1) = 2 - 4 = -2 \] Số hạng thứ hai \( u_2 \) là: \[ u_2 = S_2 - S_1 = [2(2)^2 - 4(2)] - [2(1)^2 - 4(1)] = (8 - 8) - (-2) = 0 + 2 = 2 \] Vậy khẳng định a) là đúng. Phần b) Dãy số \( (u_n) \) là một cấp số cộng có công sai là \( d = -4 \). Để kiểm tra xem dãy số \( (u_n) \) có phải là cấp số cộng hay không, ta cần kiểm tra xem hiệu giữa các số hạng liên tiếp có phải là hằng số hay không. Số hạng thứ ba \( u_3 \) là: \[ u_3 = S_3 - S_2 = [2(3)^2 - 4(3)] - [2(2)^2 - 4(2)] = (18 - 12) - (8 - 8) = 6 - 0 = 6 \] Hiệu giữa \( u_2 \) và \( u_1 \): \[ u_2 - u_1 = 2 - (-2) = 4 \] Hiệu giữa \( u_3 \) và \( u_2 \): \[ u_3 - u_2 = 6 - 2 = 4 \] Vì hiệu giữa các số hạng liên tiếp không phải là hằng số \( -4 \), nên khẳng định b) là sai. Phần c) Số hạng thứ 100 \( u_{100} = 394 \). Ta cần tìm công thức tổng quát của \( u_n \). Ta biết rằng: \[ S_n = 2n^2 - 4n \] \[ S_{n-1} = 2(n-1)^2 - 4(n-1) = 2(n^2 - 2n + 1) - 4n + 4 = 2n^2 - 4n + 2 - 4n + 4 = 2n^2 - 8n + 6 \] Số hạng thứ \( n \) là: \[ u_n = S_n - S_{n-1} = (2n^2 - 4n) - (2n^2 - 8n + 6) = 2n^2 - 4n - 2n^2 + 8n - 6 = 4n - 6 \] Vậy số hạng thứ 100 là: \[ u_{100} = 4(100) - 6 = 400 - 6 = 394 \] Khẳng định c) là đúng. Phần d) Tổng \( u_2 + u_4 + u_6 + \ldots + u_{100} \) là 9900. Ta cần tính tổng của các số hạng chẵn từ \( u_2 \) đến \( u_{100} \). Công thức tổng quát của \( u_n \) là: \[ u_n = 4n - 6 \] Các số hạng chẵn từ \( u_2 \) đến \( u_{100} \) là: \[ u_2, u_4, u_6, \ldots, u_{100} \] Số lượng các số hạng chẵn từ 2 đến 100 là: \[ \frac{100}{2} = 50 \] Tổng của các số hạng chẵn: \[ \sum_{k=1}^{50} u_{2k} = \sum_{k=1}^{50} (4(2k) - 6) = \sum_{k=1}^{50} (8k - 6) \] Tách thành hai tổng: \[ \sum_{k=1}^{50} 8k - \sum_{k=1}^{50} 6 = 8 \sum_{k=1}^{50} k - 6 \times 50 \] Tổng của các số tự nhiên từ 1 đến 50: \[ \sum_{k=1}^{50} k = \frac{50 \times 51}{2} = 1275 \] Vậy: \[ 8 \times 1275 - 6 \times 50 = 10200 - 300 = 9900 \] Khẳng định d) là đúng. Kết luận: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng Câu 16: a) Ta có: \[ \begin{array}{l} \overline{x} = \frac{1}{87}(25 \times 0,5 + 32 \times 1,0 + 14 \times 1,5 + 12 \times 2,0 + 4 \times 2,5) \\ \quad = \frac{1}{87}(12,5 + 32 + 21 + 24 + 10) \\ \quad = \frac{1}{87} \times 99,5 \approx 1,14 \end{array} \] Vậy khẳng định a) đúng. b) Nhóm chứa mốt của số liệu là $[0,75;1,25).$ c) Mốt của mẫu số liệu là $M_o = 0,89.$ d) Ta có $M_e = \frac{1}{2}(x_{44} + x_{45}) = 1,039.$ Câu 16.1: a) Chiều dài trung bình của 74 lá cây xấp xỉ bằng 6,4 (milimet). Ta tính chiều dài trung bình bằng công thức: \[ \text{Chiều dài trung bình} = \frac{\sum (\text{Giá trị đại diện} \times \text{Tần số})}{\text{Tổng tần số}} \] Tính tổng của các tích giữa giá trị đại diện và tần số: \[ (5,65 \times 5) + (6,05 \times 9) + (6,45 \times 15) + (6,85 \times 19) + (7,25 \times 16) + (7,65 \times 8) + (8,05 \times 2) \] \[ = 28,25 + 54,45 + 96,75 + 130,15 + 116 + 61,2 + 16,1 \] \[ = 502,9 \] Tổng tần số là 74. Do đó, chiều dài trung bình là: \[ \text{Chiều dài trung bình} = \frac{502,9}{74} \approx 6,8 \] Vậy chiều dài trung bình của 74 lá cây xấp xỉ bằng 6,8 (milimet). b) Độ dài nhóm là 0,4. Độ dài nhóm là khoảng cách giữa hai giới hạn liên tiếp của mỗi nhóm. Ví dụ, nhóm "[5,45;5,85)" có độ dài là: \[ 5,85 - 5,45 = 0,4 \] Tương tự cho các nhóm khác, ta thấy độ dài nhóm đều là 0,4. c) Nhóm chứa mốt là: [7,05;7,45). Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu. Nhìn vào bảng tần số, nhóm có tần số lớn nhất là 16, tương ứng với nhóm "[7,05;7,45)". d) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ bằng 6,65. Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm thường nằm gần giá trị đại diện của nhóm có tần số lớn nhất. Nhóm "[7,05;7,45)" có giá trị đại diện là 7,25, nhưng do tần số lớn nhất nằm ở nhóm liền kề "[6,65;7,05)", nên mốt xấp xỉ bằng giá trị đại diện của nhóm này là 6,85. Vậy mốt của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ bằng 6,85 (milimet).