giải giúp tôi

Câu 1: Trước hết, chúng ta cần đơn giản hóa phương trình đã cho: \[ 2x - x - \sqrt{3} = 0 \] \[ x - \sqrt{3} = 0 \] \[ x = \sqrt{3} \] Như vậy, phương trình có nghiệm duy nhất là \( x = \sqrt{3} \). Tuy nhiên, các đáp án đưa ra đều liên quan đến các giá trị góc lượng giác, do đó có thể có sự nhầm lẫn trong việc chuyển đổi giữa các dạng nghiệm. Chúng ta sẽ kiểm tra lại các đáp án để tìm ra đáp án đúng. A. \( \left\{ -\frac{\pi}{6} + 42\pi, k \in \mathbb{Z} \right\} \) - Đáp án này không đúng vì nó không liên quan trực tiếp đến nghiệm \( x = \sqrt{3} \). B. \( \left[ \pm \frac{\pi}{3} + 42x, k \in \mathbb{Z} \right] \) - Đáp án này không đúng vì nó không liên quan trực tiếp đến nghiệm \( x = \sqrt{3} \). C. \( \left\{ \frac{\pi}{6} + 12\pi, \frac{5\pi}{6} + 12\pi, k \in \mathbb{Z} \right\} \) - Đáp án này không đúng vì nó không liên quan trực tiếp đến nghiệm \( x = \sqrt{3} \). D. \( \left\{ \frac{\pi}{3} + 12\pi, \frac{2\pi}{3} + 12\pi, k \in \mathbb{Z} \right\} \) - Đáp án này không đúng vì nó không liên quan trực tiếp đến nghiệm \( x = \sqrt{3} \). Do đó, tất cả các đáp án đưa ra đều không chính xác. Nghiệm đúng của phương trình là \( x = \sqrt{3} \). Câu 2: Để giải phương trình \(\sin x = -1\), chúng ta cần tìm các giá trị của \(x\) sao cho \(\sin x = -1\). 1. Nhắc lại giá trị của \(\sin x\): - \(\sin x = -1\) khi \(x\) nằm ở góc phần tư thứ ba của đường tròn lượng giác, cụ thể là tại \(x = \frac{3\pi}{2}\). 2. Tìm tất cả các nghiệm: - Vì hàm số \(\sin x\) là hàm tuần hoàn với chu kỳ \(2\pi\), nên các nghiệm của phương trình \(\sin x = -1\) sẽ lặp lại mỗi \(2\pi\). - Do đó, các nghiệm của phương trình \(\sin x = -1\) là: \[ x = \frac{3\pi}{2} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] 3. Kiểm tra đáp án: - Đáp án A: \(\frac{\pi}{4} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\) - Sai vì \(\frac{\pi}{4}\) không phải là nghiệm của \(\sin x = -1\). - Đáp án B: \(-\frac{\pi}{4} + 42\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\) - Sai vì \(42\pi\) không phải là chu kỳ cơ bản của hàm \(\sin x\). - Đáp án C: \(\frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\) - Sai vì \(\frac{\pi}{4}\) không phải là nghiệm của \(\sin x = -1\). - Đáp án D: \(-\frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\) - Sai vì \(-\frac{\pi}{4}\) không phải là nghiệm của \(\sin x = -1\). Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{x = \frac{3\pi}{2} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})} \] Câu 3: Để giải quyết các câu hỏi này, chúng ta cần phân tích từng phần một cách cẩn thận. Câu hỏi 1: Họ tất cả các nghiệm của phương trình $cm~x=0$ Có vẻ như có một lỗi đánh máy trong phương trình này. Tôi sẽ giả định rằng phương trình đúng là $\cos x = 0$. Phương trình $\cos x = 0$ có nghiệm khi $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$. Điều này là do hàm số $\cos x$ bằng 0 tại các điểm $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \ldots$, tức là $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$. Vậy đáp án đúng là: \[ A. \, x = \frac{\pi}{2} + k\pi \, (k \in \mathbb{Z}) \] Câu hỏi 2: Tập xác định của hàm số $y = \tan x$ Hàm số $y = \tan x$ không xác định tại các điểm mà $\cos x = 0$, tức là tại các điểm $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$. Do đó, tập xác định của hàm số $y = \tan x$ là: \[ \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \, | \, k \in \mathbb{Z} \right\} \] Vậy đáp án đúng là: \[ D. \, \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \, | \, k \in \mathbb{Z} \right\} \] Hy vọng rằng các giải thích trên đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết các bài toán này. Câu 5: Để giải phương trình \( x - \frac{1}{2} = 0 \), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình: \[ x - \frac{1}{2} = 0 \] 2. Giải phương trình: \[ x = \frac{1}{2} \] 3. Kiểm tra các đáp án đã cho: - Đáp án A: \( \frac{\pi}{3} + 42\pi; -\frac{\pi}{2} + 42\pi \) (không đúng vì không liên quan đến \( \frac{1}{2} \)) - Đáp án B: \( \frac{\pi}{6} + 4\pi; \frac{5\pi}{6} + k\pi \) (không đúng vì không liên quan đến \( \frac{1}{2} \)) - Đáp án C: \( \frac{\pi}{6} + 42\pi; \frac{5\pi}{6} + 42\pi \) (không đúng vì không liên quan đến \( \frac{1}{2} \)) - Đáp án D: \( \frac{\pi}{6} + 42\pi; \frac{-\pi}{6} + 42\pi \) (không đúng vì không liên quan đến \( \frac{1}{2} \)) 4. Kết luận: Phương trình \( x - \frac{1}{2} = 0 \) có nghiệm duy nhất là: \[ x = \frac{1}{2} \] Do đó, không có đáp án nào trong các đáp án đã cho là đúng. Nghiệm của phương trình là: \[ \boxed{x = \frac{1}{2}} \] Câu 6: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm nghiệm của phương trình \(\cos x = -\frac{1}{2}\). Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình \(\cos x = -\frac{1}{2}\) Phương trình \(\cos x = -\frac{1}{2}\) có nghiệm tổng quát là: \[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + k \cdot 2\pi, \] với \(k \in \mathbb{Z}\). Bước 2: Kiểm tra các đáp án - Đáp án A: \(x = \pm \frac{\pi}{3} + 42x\) Đáp án này không đúng vì nghiệm tổng quát của \(\cos x = -\frac{1}{2}\) không có dạng \(\pm \frac{\pi}{3}\). - Đáp án B: \(x = -\frac{\pi}{6} + 42\pi\) Đáp án này không đúng vì nghiệm tổng quát của \(\cos x = -\frac{1}{2}\) không có dạng \(-\frac{\pi}{6}\). - Đáp án C: \(x = \pm \frac{2\pi}{3} - 12\pi\) Đáp án này đúng vì nó phù hợp với nghiệm tổng quát của \(\cos x = -\frac{1}{2}\). - Đáp án D: \(x = \pm \frac{\pi}{6} + 1\pi\) Đáp án này không đúng vì nghiệm tổng quát của \(\cos x = -\frac{1}{2}\) không có dạng \(\pm \frac{\pi}{6}\). Kết luận Nghiệm của phương trình \(\cos x = -\frac{1}{2}\) là \(x = \pm \frac{2\pi}{3} + k \cdot 2\pi\), với \(k \in \mathbb{Z}\). Do đó, đáp án đúng là C: \(x = \pm \frac{2\pi}{3} - 12\pi\). Phần tiếp theo: Tìm số nghiệm thuộc khoảng \((0; \frac{\pi}{2})\) Với phương trình \(\cos x = -\frac{1}{2}\), nghiệm tổng quát là: \[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + k \cdot 2\pi. \] Chúng ta cần tìm số nghiệm thuộc khoảng \((0; \frac{\pi}{2})\). - Xét \(x = \frac{2\pi}{3} + k \cdot 2\pi\): \[ \frac{2\pi}{3} + k \cdot 2\pi > 0 \quad \text{và} \quad \frac{2\pi}{3} + k \cdot 2\pi < \frac{\pi}{2} \] Không có giá trị \(k\) nào thỏa mãn điều kiện này. - Xét \(x = -\frac{2\pi}{3} + k \cdot 2\pi\): \[ -\frac{2\pi}{3} + k \cdot 2\pi > 0 \quad \text{và} \quad -\frac{2\pi}{3} + k \cdot 2\pi < \frac{\pi}{2} \] Không có giá trị \(k\) nào thỏa mãn điều kiện này. Do đó, không có nghiệm nào thuộc khoảng \((0; \frac{\pi}{2})\). Kết luận cuối cùng Số nghiệm thuộc khoảng \((0; \frac{\pi}{2})\) là 0. Câu 8: Để giải phương trình \( \cos x = \cos \frac{\pi}{4} \), chúng ta cần nhớ rằng nếu hai góc có cùng giá trị cosin thì chúng hoặc bằng nhau hoặc đối xứng qua trục hoành trên đường tròn lượng giác. Do đó, nghiệm của phương trình \( \cos x = \cos \frac{\pi}{4} \) sẽ là: \[ x = \frac{\pi}{4} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{\pi}{4} + k2\pi \] với \( k \in \mathbb{Z} \). Tuy nhiên, trong các đáp án đưa ra, chỉ có đáp án C là đúng vì nó bao gồm tất cả các nghiệm có thể của phương trình này. Đáp án đúng là: \[ C.~x = \frac{\pi}{4} + k2\pi,~k \in \mathbb{Z}. \] Câu 9: Để giải phương trình \(\sin x = 1\) và tìm nghiệm dương nhỏ nhất, chúng ta làm như sau: 1. Nhắc lại công thức nghiệm của phương trình \(\sin x = 1\): \[ \sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] 2. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất: - Ta cần tìm giá trị của \(k\) sao cho \(x\) là số dương và nhỏ nhất. - Khi \(k = 0\): \[ x = \frac{\pi}{2} \] - Khi \(k = 1\): \[ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \] - Khi \(k = -1\): \[ x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2} \] 3. So sánh các nghiệm: - Nghiệm \(x = \frac{\pi}{2}\) là số dương và nhỏ nhất trong các nghiệm trên. Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(\sin x = 1\) là: \[ \boxed{B.~x = \frac{\pi}{2}} \] Câu 10: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm số nghiệm của phương trình \(\cot \alpha = -8\) trên đoạn \([- \pi; 2\pi]\). Bước 1: Xác định khoảng xác định của \(\alpha\). - Hàm cotangent (\(\cot \alpha\)) có chu kỳ \(\pi\), tức là \(\cot(\alpha + k\pi) = \cot \alpha\) với \(k\) là số nguyên. - Trên đoạn \([- \pi; 2\pi]\), chúng ta sẽ kiểm tra các giá trị của \(\alpha\) trong mỗi chu kỳ. Bước 2: Tìm nghiệm trong một chu kỳ. - Phương trình \(\cot \alpha = -8\) có nghiệm trong khoảng \((0, \pi)\). Gọi nghiệm này là \(\alpha_0\). - Do tính chất của hàm cotangent, trong khoảng \((0, \pi)\), phương trình \(\cot \alpha = -8\) có đúng một nghiệm \(\alpha_0\). Bước 3: Xác định các nghiệm trong đoạn \([- \pi; 2\pi]\). - Chu kỳ đầu tiên từ \(-\pi\) đến \(0\): - Nghiệm trong khoảng này là \(\alpha_0 - \pi\). - Chu kỳ thứ hai từ \(0\) đến \(\pi\): - Nghiệm trong khoảng này là \(\alpha_0\). - Chu kỳ thứ ba từ \(\pi\) đến \(2\pi\): - Nghiệm trong khoảng này là \(\alpha_0 + \pi\). Bước 4: Kiểm tra các nghiệm trong đoạn \([- \pi; 2\pi]\). - Nghiệm \(\alpha_0 - \pi\) nằm trong khoảng \([- \pi; 0]\). - Nghiệm \(\alpha_0\) nằm trong khoảng \([0; \pi]\). - Nghiệm \(\alpha_0 + \pi\) nằm trong khoảng \([\pi; 2\pi]\). Như vậy, phương trình \(\cot \alpha = -8\) có 3 nghiệm trên đoạn \([- \pi; 2\pi]\). Đáp án: B. 3. Câu 11: Để giải phương trình \(3\cos x - \sqrt{3} = 0\), ta thực hiện các bước sau: 1. Chuyển vế và đơn giản hóa phương trình: \[ 3\cos x - \sqrt{3} = 0 \] Chuyển \(\sqrt{3}\) sang vế phải: \[ 3\cos x = \sqrt{3} \] 2. Chia cả hai vế cho 3 để tìm \(\cos x\): \[ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{3} \] Ta biết rằng \(\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}\), nên: \[ \cos x = \frac{1}{\sqrt{3}} \] 3. Xác định các giá trị của \(x\) thỏa mãn \(\cos x = \frac{1}{\sqrt{3}}\): Ta biết rằng \(\cos x = \frac{1}{\sqrt{3}}\) tại \(x = \frac{\pi}{6}\) trong khoảng \([0, 2\pi]\). 4. Viết nghiệm tổng quát của phương trình: Vì \(\cos x\) là hàm tuần hoàn với chu kỳ \(2\pi\), các nghiệm của phương trình sẽ là: \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{và} \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Kết hợp lại, ta có: \[ x = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] 5. Kiểm tra các đáp án đã cho: - Đáp án A: \(x = \frac{\pi}{6} + 42x (k \in \mathbb{Z})\) (sai vì 42x không đúng). - Đáp án B: \(x - \frac{\pi}{3} + 12 + 1\) (sai vì không đúng dạng nghiệm). - Đáp án C: \(x = \frac{\pi}{6} + 3\pi (k + 2)\) (sai vì không đúng dạng nghiệm). - Đáp án D: \(x = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi (k \in \mathbb{Z})\) (đúng). Vậy, đáp án đúng là: \[ \boxed{x = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})} \]