mng giúp e vs ạ

Câu 1: Để tìm tập giá trị của hàm số \( y = 5 + 4 \sin 2x \cos 2x \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Đơn giản hóa biểu thức \( 4 \sin 2x \cos 2x \). Ta biết rằng: \[ \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta \] Do đó: \[ 4 \sin 2x \cos 2x = 2 \cdot 2 \sin 2x \cos 2x = 2 \sin 4x \] Vậy hàm số ban đầu trở thành: \[ y = 5 + 2 \sin 4x \] Bước 2: Xác định miền giá trị của \( \sin 4x \). Giá trị của \( \sin 4x \) nằm trong khoảng \([-1, 1]\). Bước 3: Tìm miền giá trị của \( y = 5 + 2 \sin 4x \). - Khi \( \sin 4x = -1 \): \[ y = 5 + 2(-1) = 5 - 2 = 3 \] - Khi \( \sin 4x = 1 \): \[ y = 5 + 2(1) = 5 + 2 = 7 \] Vậy miền giá trị của hàm số \( y = 5 + 2 \sin 4x \) là đoạn \([3, 7]\). Kết luận: Tập giá trị của hàm số \( y = 5 + 4 \sin 2x \cos 2x \) là \([3, 7]\). Câu 2: Để tìm số hạng đầu tiên \( u_1 \) và công sai \( d \) của cấp số cộng \((u_n)\), chúng ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho trong đề bài. 1. Viết các số hạng theo số hạng đầu tiên và công sai: - Số hạng thứ hai \( u_2 = u_1 + d \) - Số hạng thứ năm \( u_5 = u_1 + 4d \) - Số hạng thứ tư \( u_4 = u_1 + 3d \) - Số hạng thứ chín \( u_9 = u_1 + 8d \) 2. Thay các số hạng này vào các phương trình đã cho: - Từ \( u_2 + u_5 = 42 \): \[ (u_1 + d) + (u_1 + 4d) = 42 \] \[ 2u_1 + 5d = 42 \quad \text{(1)} \] - Từ \( u_4 + u_9 = 66 \): \[ (u_1 + 3d) + (u_1 + 8d) = 66 \] \[ 2u_1 + 11d = 66 \quad \text{(2)} \] 3. Giải hệ phương trình (1) và (2): - Phương trình (1): \( 2u_1 + 5d = 42 \) - Phương trình (2): \( 2u_1 + 11d = 66 \) Trừ phương trình (1) từ phương trình (2): \[ (2u_1 + 11d) - (2u_1 + 5d) = 66 - 42 \] \[ 6d = 24 \] \[ d = 4 \] 4. Thay \( d = 4 \) vào phương trình (1) để tìm \( u_1 \): \[ 2u_1 + 5(4) = 42 \] \[ 2u_1 + 20 = 42 \] \[ 2u_1 = 22 \] \[ u_1 = 11 \] Kết luận: Số hạng đầu tiên \( u_1 \) của cấp số cộng là 11 và công sai \( d \) là 4. Bài tập 3: Giải các phương trình lượng giác a) Phương trình \(2\cos3x + 1 = 0\) Bước 1: Giải phương trình \[ 2\cos3x + 1 = 0 \implies \cos3x = -\frac{1}{2} \] Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình \(\cos3x = -\frac{1}{2}\) \[ 3x = \pm \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) + 2k\pi = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Bước 3: Giải cho \(x\) \[ x = \frac{\pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi}{3} = \frac{\pm 2\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \] b) Phương trình \(2\sin^2x + \sin x - 3 = 0\) Bước 1: Đặt \(t = \sin x\), điều kiện \(-1 \leq t \leq 1\) Bước 2: Giải phương trình bậc hai \[ 2t^2 + t - 3 = 0 \] Bước 3: Tính \(\Delta\) \[ \Delta = 1^2 - 4 \times 2 \times (-3) = 1 + 24 = 25 \] Bước 4: Tìm nghiệm của phương trình \[ t = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-1 \pm 5}{4} \] \[ t_1 = 1, \quad t_2 = -\frac{3}{2} \] Bước 5: Xét điều kiện - \(t_1 = 1\) thỏa mãn \(-1 \leq t \leq 1\) - \(t_2 = -\frac{3}{2}\) không thỏa mãn Bước 6: Tìm nghiệm của \(\sin x = 1\) \[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] c) Phương trình \(\sin4x + \cos5x = 0\) Bước 1: Sử dụng công thức \(\sin a + \cos b = 0\) \[ \sin4x = -\cos5x \] Bước 2: Sử dụng công thức \(\sin a = -\cos b\) \[ 4x = -5x + \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{hoặc} \quad 4x = 5x - \frac{\pi}{2} + k\pi \] Bước 3: Giải từng trường hợp - Trường hợp 1: \[ 4x + 5x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies 9x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{18} + \frac{k\pi}{9} \] - Trường hợp 2: \[ 4x - 5x = -\frac{\pi}{2} + k\pi \implies -x = -\frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{2} - k\pi \] d) Phương trình \(\cos x \cdot \sin(2x - \frac{\pi}{3}) = 0\) Bước 1: Phân tích thành hai phương trình 1. \(\cos x = 0\) 2. \(\sin(2x - \frac{\pi}{3}) = 0\) Bước 2: Giải từng phương trình 1. \(\cos x = 0\) \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] 2. \(\sin(2x - \frac{\pi}{3}) = 0\) \[ 2x - \frac{\pi}{3} = k\pi \implies 2x = \frac{\pi}{3} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2} \] e) Phương trình \(\sin(\pi-x) - \cos(\frac{\pi}{2} - 2x) = 0\) Bước 1: Sử dụng công thức lượng giác \[ \sin(\pi-x) = \sin x, \quad \cos(\frac{\pi}{2} - 2x) = \sin 2x \] Bước 2: Phương trình trở thành \[ \sin x - \sin 2x = 0 \] Bước 3: Sử dụng công thức \(\sin a - \sin b = 2\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)\) \[ 2\cos\left(\frac{3x}{2}\right)\sin\left(-\frac{x}{2}\right) = 0 \] Bước 4: Phân tích thành hai phương trình 1. \(\cos\left(\frac{3x}{2}\right) = 0\) 2. \(\sin\left(-\frac{x}{2}\right) = 0\) Bước 5: Giải từng phương trình 1. \(\cos\left(\frac{3x}{2}\right) = 0\) \[ \frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3} \] 2. \(\sin\left(-\frac{x}{2}\right) = 0\) \[ -\frac{x}{2} = k\pi \implies x = -2k\pi \] Câu 4: Giao tuyến của các mặt phẳng a) Giao tuyến của \((SAC)\) và \((SBD)\) - Giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBD)\) là đường thẳng đi qua điểm chung \(S\) và giao điểm của hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\) nếu có. b) Giao tuyến của \((SAC)\) và \((MBD)\) - Giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((MBD)\) là đường thẳng đi qua điểm chung \(M\) và giao điểm của hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\) nếu có. Lưu ý: Để xác định chính xác giao tuyến, cần biết thêm thông tin về vị trí của các điểm và các đường thẳng trong không gian. Câu 5: Bài 1: Chứng minh $MN//(A^\prime BD)$ Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\), M là trung điểm của \(A'B'\), N là trung điểm của \(DD'\). 1. Xác định tọa độ các điểm: - Giả sử cạnh của hình lập phương là \(a\). - Tọa độ các điểm: - \(A'(0, 0, a)\), \(B'(a, 0, a)\), \(D(0, a, 0)\), \(D'(0, a, a)\). 2. Tìm tọa độ điểm M và N: - M là trung điểm của \(A'B'\), nên tọa độ của M là: \[ M\left(\frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{a + a}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0, a\right) \] - N là trung điểm của \(DD'\), nên tọa độ của N là: \[ N\left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{a + a}{2}, \frac{0 + a}{2}\right) = \left(0, a, \frac{a}{2}\right) \] 3. Tìm vectơ \(\overrightarrow{MN}\): \[ \overrightarrow{MN} = \left(0 - \frac{a}{2}, a - 0, \frac{a}{2} - a\right) = \left(-\frac{a}{2}, a, -\frac{a}{2}\right) \] 4. Tìm mặt phẳng \((A'BD)\): - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((A'BD)\) có thể được tìm bằng tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{A'B}\) và \(\overrightarrow{A'D}\): \[ \overrightarrow{A'B} = (a, 0, 0), \quad \overrightarrow{A'D} = (0, a, -a) \] - Tích có hướng: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{A'B} \times \overrightarrow{A'D} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 0 \\ 0 & a & -a \end{vmatrix} = (0, a^2, a^2) \] 5. Kiểm tra \(\overrightarrow{MN}\) song song với mặt phẳng \((A'BD)\): - Vectơ \(\overrightarrow{MN}\) song song với mặt phẳng \((A'BD)\) nếu \(\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{n} = 0\): \[ \overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{n} = \left(-\frac{a}{2}, a, -\frac{a}{2}\right) \cdot (0, a^2, a^2) = 0 \cdot 0 + a \cdot a^2 - \frac{a}{2} \cdot a^2 = a^3 - \frac{a^3}{2} = \frac{a^3}{2} \neq 0 \] - Có sai sót trong tính toán, cần kiểm tra lại. 6. Kết luận: - Do tính toán sai, cần kiểm tra lại các bước để đảm bảo \(\overrightarrow{MN}\) song song với mặt phẳng \((A'BD)\). Bài 2: Tìm \(u_1\) của cấp số nhân Cho cấp số nhân \((u_n)\) với công bội \(q < 0\), \(u_2 = 4\), \(u_4 = 9\). 1. Biểu thức tổng quát của cấp số nhân: - \(u_2 = u_1 \cdot q = 4\) - \(u_4 = u_1 \cdot q^3 = 9\) 2. Tìm \(q\): - Từ \(u_2 = 4\), ta có \(u_1 \cdot q = 4\) \(\Rightarrow u_1 = \frac{4}{q}\) - Thay vào \(u_4 = 9\): \[ \frac{4}{q} \cdot q^3 = 9 \Rightarrow 4q^2 = 9 \Rightarrow q^2 = \frac{9}{4} \Rightarrow q = \pm \frac{3}{2} \] - Do \(q < 0\), nên \(q = -\frac{3}{2}\). 3. Tìm \(u_1\): - Thay \(q = -\frac{3}{2}\) vào \(u_1 = \frac{4}{q}\): \[ u_1 = \frac{4}{-\frac{3}{2}} = \frac{4 \cdot 2}{-3} = -\frac{8}{3} \] 4. Kết luận: - Giá trị của \(u_1\) là \(-\frac{8}{3}\).