Toán lớp 11

Câu 13: A. 8,15,22,29,36. Đây là dãy số hữu hạn vì nó chỉ gồm 5 số hạng. Câu 14: Để giải phương trình \(\cos x = \cos a^\circ\), chúng ta cần nhớ rằng cosin là một hàm số tuần hoàn với chu kỳ \(360^\circ\) và đối xứng qua trục \(y\). Điều này có nghĩa là nếu \(\cos x = \cos a^\circ\), thì \(x\) có thể là \(a^\circ\) hoặc \(-a^\circ\) cộng thêm bội số của \(360^\circ\). Do đó, nghiệm của phương trình \(\cos x = \cos a^\circ\) là: \[ x = a^\circ + k \cdot 360^\circ \quad \text{hoặc} \quad x = -a^\circ + k \cdot 360^\circ \] với \(k\) là bất kỳ số nguyên nào (\(k \in \mathbb{Z}\)). Viết lại dưới dạng tổng quát, ta có: \[ x = \pm a^\circ + k \cdot 360^\circ \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~x = \pm \alpha^0 + k \cdot 360^\circ,~k \in \mathbb{Z}. \] Câu 15: Để tìm tổng \( S_n \) của \( n \) số hạng đầu tiên của một cấp số nhân với số hạng đầu \( u_1 \) và công bội \( q \neq 1 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định công thức tổng quát của cấp số nhân: - Số hạng thứ \( k \) của cấp số nhân là \( u_k = u_1 \cdot q^{k-1} \). 2. Viết tổng \( S_n \) của \( n \) số hạng đầu tiên: \[ S_n = u_1 + u_1 \cdot q + u_1 \cdot q^2 + \ldots + u_1 \cdot q^{n-1} \] 3. Nhân cả hai vế của \( S_n \) với \( q \): \[ q \cdot S_n = u_1 \cdot q + u_1 \cdot q^2 + u_1 \cdot q^3 + \ldots + u_1 \cdot q^n \] 4. Trừ \( q \cdot S_n \) từ \( S_n \): \[ S_n - q \cdot S_n = (u_1 + u_1 \cdot q + u_1 \cdot q^2 + \ldots + u_1 \cdot q^{n-1}) - (u_1 \cdot q + u_1 \cdot q^2 + \ldots + u_1 \cdot q^n) \] \[ S_n (1 - q) = u_1 - u_1 \cdot q^n \] 5. Giải phương trình để tìm \( S_n \): \[ S_n (1 - q) = u_1 (1 - q^n) \] \[ S_n = \frac{u_1 (1 - q^n)}{1 - q} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~S_n = \frac{u_1 (1 - q^n)}{1 - q}} \] Câu 16: Để xác định dãy số nào là dãy số tăng, chúng ta cần kiểm tra xem mỗi số hạng trong dãy có lớn hơn số hạng trước nó hay không. A. Dãy số: 1; 3; 5; 7; 9; ... - Số hạng thứ hai là 3, lớn hơn số hạng đầu tiên là 1. - Số hạng thứ ba là 5, lớn hơn số hạng thứ hai là 3. - Số hạng thứ tư là 7, lớn hơn số hạng thứ ba là 5. - Số hạng thứ năm là 9, lớn hơn số hạng thứ tư là 7. - Tiếp tục như vậy, mỗi số hạng đều lớn hơn số hạng trước nó. Do đó, dãy số này là dãy số tăng. B. Dãy số: 1; -\(\frac{1}{2}\); \(\frac{1}{4}\); -\(\frac{1}{8}\); \(\frac{1}{16}\); ... - Số hạng thứ hai là -\(\frac{1}{2}\), nhỏ hơn số hạng đầu tiên là 1. - Số hạng thứ ba là \(\frac{1}{4}\), lớn hơn số hạng thứ hai là -\(\frac{1}{2}\). - Số hạng thứ tư là -\(\frac{1}{8}\), nhỏ hơn số hạng thứ ba là \(\frac{1}{4}\). - Số hạng thứ năm là \(\frac{1}{16}\), lớn hơn số hạng thứ tư là -\(\frac{1}{8}\). Do đó, dãy số này không phải là dãy số tăng vì có sự thay đổi giữa các số hạng âm và dương. C. Dãy số: 2; 2; 2; 2; 2; ... - Mỗi số hạng đều bằng nhau và không lớn hơn số hạng trước nó. Do đó, dãy số này không phải là dãy số tăng. D. Dãy số: 1; \(\frac{1}{2}\); \(\frac{1}{4}\); \(\frac{1}{8}\); \(\frac{1}{16}\); ... - Số hạng thứ hai là \(\frac{1}{2}\), nhỏ hơn số hạng đầu tiên là 1. - Số hạng thứ ba là \(\frac{1}{4}\), nhỏ hơn số hạng thứ hai là \(\frac{1}{2}\). - Số hạng thứ tư là \(\frac{1}{8}\), nhỏ hơn số hạng thứ ba là \(\frac{1}{4}\). - Số hạng thứ năm là \(\frac{1}{16}\), nhỏ hơn số hạng thứ tư là \(\frac{1}{8}\). Do đó, dãy số này không phải là dãy số tăng vì mỗi số hạng đều nhỏ hơn số hạng trước nó. Kết luận: Dãy số tăng là dãy số ở phần A. Đáp án: A. 1; 3; 5; 7; 9; ... Câu 1: a) Ta có \( f(-x) = \tan(-x) + 2 = -\tan x + 2 \neq -f(x) \). Vậy hàm số \( f(x) \) không là hàm số lẻ. b) Điều kiện xác định của hàm số \( f(x) \) là \( \cos x \neq 0 \), tức là \( x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \). Vậy tập xác định của hàm số là \( D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\} \). c) Ta có \( f\left( \frac{\pi}{4} \right) = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) + 2 = 1 + 2 = 3 \). Vậy \( f\left( \frac{\pi}{4} \right) = 3 \). d) Hàm số \( \tan x \) không có giá trị lớn nhất trên miền xác định của nó. Do đó, hàm số \( f(x) = \tan x + 2 \) cũng không có giá trị lớn nhất. Vậy mệnh đề này sai. Câu 2: a) Ta có \( S_{100}=\frac{100}{2}[2(-2)+(100-1)(-5)] = -24950 \). Vậy tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy số \((u_n)\) là \(-24950\). Mệnh đề này đúng. b) Giả sử \(-902\) là số hạng thứ \(n\) của dãy số \((u_n)\). Ta có \( u_n = -2 + (n-1)(-5) = -902 \). Giải phương trình này ta được \( n = 180 \). Vậy số \(-902\) là số hạng thứ \(180\) của dãy số \((u_n)\). Mệnh đề này đúng. c) Ta có \( u_2 = -2 + (2-1)(-5) = -7 \). Vậy \( u_2 = -7 \). Mệnh đề này đúng. d) Vì công sai \( d = -5 < 0 \) nên dãy số \((u_n)\) là một dãy giảm. Mệnh đề này sai.