Toán lớp 11

Câu 1: Từ bảng đã cho, ta thấy tần số của nhóm $[18;22)$ là 120. Do đó, đáp án đúng là: D. 120. Câu 2: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = -2\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 5 \), chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Xác định miền giá trị của hàm số \(\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\): - Hàm số \(\sin\) có miền giá trị từ \(-1\) đến \(1\). Do đó, \(\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\) cũng có miền giá trị từ \(-1\) đến \(1\). 2. Nhân miền giá trị của \(\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\) với \(-2\): - Khi nhân \(\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\) với \(-2\), miền giá trị mới sẽ là: \[ -2 \cdot (-1) = 2 \quad \text{và} \quad -2 \cdot 1 = -2 \] - Vậy miền giá trị của \(-2\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\) là từ \(-2\) đến \(2\). 3. Cộng thêm hằng số \(5\) vào miền giá trị trên: - Khi cộng thêm \(5\) vào miền giá trị từ \(-2\) đến \(2\), miền giá trị mới sẽ là: \[ -2 + 5 = 3 \quad \text{và} \quad 2 + 5 = 7 \] - Vậy miền giá trị của \(y = -2\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 5\) là từ \(3\) đến \(7\). 4. Xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số: - Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = -2\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 5\) là \(3\). Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = -2\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 5\) là \(3\). Đáp án đúng là: B. 3. Câu 3: Để tìm công bội \( q \) của cấp số nhân \((u_n)\) có số hạng tổng quát \( u_1 = 8 \) và \( u_2 = 24 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Nhắc lại định nghĩa cấp số nhân: - Một cấp số nhân là một dãy số trong đó mỗi số hạng sau đó đều bằng số hạng trước nó nhân với một hằng số cố định gọi là công bội \( q \). 2. Sử dụng công thức tổng quát của cấp số nhân: - Số hạng thứ hai \( u_2 \) của cấp số nhân có thể viết dưới dạng: \[ u_2 = u_1 \cdot q \] 3. Thay các giá trị đã biết vào công thức: - Ta có \( u_1 = 8 \) và \( u_2 = 24 \). Thay vào công thức trên: \[ 24 = 8 \cdot q \] 4. Giải phương trình để tìm \( q \): - Chia cả hai vế của phương trình cho 8: \[ q = \frac{24}{8} = 3 \] 5. Kết luận: - Công bội \( q \) của cấp số nhân là \( 3 \). Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~q=3} \] Câu 4: Các thí sinh thi đỗ môn Toán là những thí sinh có điểm từ 50 trở lên. Từ bảng thống kê, ta thấy số thí sinh có điểm từ 50 trở lên thuộc vào các khoảng [50;60), [60;70), [70;80), [80;90), [90;100]. Số thí sinh tương ứng với các khoảng này lần lượt là 12, 10, 6, 4, 3. Do đó, tổng số thí sinh thi đỗ môn Toán là: \[ 12 + 10 + 6 + 4 + 3 = 35 \] Vậy đáp án đúng là: D. 35. Câu 5: Để tìm số hạng thứ năm \( u_5 \) của cấp số cộng có số hạng đầu \( u_1 = 5 \) và công sai \( d = -2 \), ta sử dụng công thức tổng quát của cấp số cộng: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Trong đó: - \( u_1 \) là số hạng đầu tiên, - \( d \) là công sai, - \( n \) là vị trí của số hạng trong dãy. Áp dụng vào bài toán này để tìm \( u_5 \): \[ u_5 = u_1 + (5-1)d \] \[ u_5 = 5 + 4(-2) \] \[ u_5 = 5 - 8 \] \[ u_5 = -3 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~u_5 = -3 \] Câu 6: Để xác định mệnh đề đúng trong các lựa chọn đã cho, chúng ta sẽ sử dụng công thức lượng giác cơ bản về cosin của hiệu hai góc. Công thức cosin của hiệu hai góc \(a\) và \(b\) là: \[ \cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn: A. \( \cos(a - b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \) - Đây là công thức của sin(a + b), không phải là công thức của cos(a - b). B. \( \cos(a - b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \) - Đây là công thức của cos(a + b), không phải là công thức của cos(a - b). C. \( \cos(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b \) - Đây là công thức của sin(a - b), không phải là công thức của cos(a - b). D. \( \cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b \) - Đây chính là công thức đúng của cos(a - b). Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~\cos(a-b)=\cos a.\cos b+\sin a.\sin b. \] Câu 7: Số hạng thứ 3 của dãy số trên là: $u_3=2^3-3=5$ Chọn D. Câu 8: A. Đúng vì hàm số tuần hoàn với chu kỳ $2\pi.$ B. Đúng vì tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}.$ C. Đúng vì tập giá trị của hàm số là $[-1;1].$ D. Sai vì hàm số lẻ. Câu 9: Hàm số \( y = \cot x \) được định nghĩa là tỷ số giữa cosin và sin của góc \( x \), tức là \( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \). Để hàm số \( y = \cot x \) có nghĩa, mẫu số \( \sin x \) không được bằng 0. Do đó, ta cần tìm các giá trị của \( x \) sao cho \( \sin x \neq 0 \). Biết rằng \( \sin x = 0 \) khi \( x = k\pi \) với \( k \) là số nguyên (\( k \in \mathbb{Z} \)). Vậy tập xác định của hàm số \( y = \cot x \) là tất cả các số thực trừ đi các giá trị \( x = k\pi \) với \( k \) là số nguyên. Do đó, tập xác định của hàm số \( y = \cot x \) là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{ k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \}. \] Đáp án đúng là: \[ D.~D=\mathbb{R}\setminus\{k\pi|k\in\mathbb{Z}\}. \]