Ghhn d dctvy y tt

Câu 1: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số \( y = f(x) \), ta cần quan sát đồ thị và tìm khoảng mà đồ thị đi lên từ trái sang phải. 1. Quan sát đồ thị: - Từ \( x = -1 \) đến \( x = 0 \), đồ thị đi xuống. - Từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \), đồ thị đi lên. - Từ \( x = 1 \) đến \( x = 3 \), đồ thị đi xuống. - Từ \( x = 3 \) trở đi, đồ thị đi lên. 2. Kết luận: - Hàm số đồng biến trên khoảng \( (0; 1) \) và \( (3; +\infty) \). Do đó, khoảng đồng biến của hàm số là \( (0; 1) \). Vậy đáp án đúng là \(\textcircled{A.}~(-1;1).\) Câu 2: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = f(x) \), ta cần xem xét dấu của đạo hàm \( y' \) trên bảng biến thiên. Dựa vào bảng biến thiên: - Trên khoảng \((-2; 0)\), \( y' < 0 \) nên hàm số nghịch biến. - Trên khoảng \((0; 2)\), \( y' > 0 \) nên hàm số đồng biến. - Trên khoảng \((2; +\infty)\), \( y' < 0 \) nên hàm số nghịch biến. Vậy, hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-2; 0)\) và \((2; +\infty)\). Do đó, đáp án đúng là \( B.~(3;+\infty) \) không phải là khoảng nghịch biến. Đáp án đúng là \(\textcircled{C.}~(1;3)\) không phải là khoảng nghịch biến. Kết luận: Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-2; 0)\) và \((2; +\infty)\). Câu 3: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = f(x) \), chúng ta cần xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \). Đạo hàm của hàm số đã cho là: \[ f'(x) = 3x(x+1)^3 \] Để tìm các khoảng nghịch biến, chúng ta cần giải bất phương trình \( f'(x) < 0 \). 1. Tìm các điểm tới hạn bằng cách giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ 3x(x+1)^3 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad (x+1)^3 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] 2. Xét dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn \( x = -1 \) và \( x = 0 \): - Khoảng \( (-\infty, -1) \): Chọn \( x = -2 \): \[ f'(-2) = 3(-2)(-2+1)^3 = 3(-2)(-1)^3 = 3(-2)(-1) = 6 > 0 \] Vậy \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( (-\infty, -1) \). - Khoảng \( (-1, 0) \): Chọn \( x = -0.5 \): \[ f'(-0.5) = 3(-0.5)(-0.5+1)^3 = 3(-0.5)(0.5)^3 = 3(-0.5)(0.125) = -0.1875 < 0 \] Vậy \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (-1, 0) \). - Khoảng \( (0, +\infty) \): Chọn \( x = 1 \): \[ f'(1) = 3(1)(1+1)^3 = 3(1)(2)^3 = 3(1)(8) = 24 > 0 \] Vậy \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( (0, +\infty) \). Từ đó, hàm số \( y = f(x) \) nghịch biến trên khoảng \( (-1, 0) \). Do đó, đáp án đúng là: \[ \textcircled{B.}~(-1;0) \] Câu 4: Để xác định số điểm cực tiểu của hàm số \( f(x) \), ta cần xem xét bảng xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \). 1. Xét dấu của \( f'(x) \): - Trên khoảng \((- \infty, -1)\), \( f'(x) < 0 \) (hàm số giảm). - Tại \( x = -1 \), \( f'(x) = 0 \). - Trên khoảng \((-1, 0)\), \( f'(x) > 0 \) (hàm số tăng). - Tại \( x = 0 \), \( f'(x) = 0 \). - Trên khoảng \((0, 1)\), \( f'(x) < 0 \) (hàm số giảm). - Tại \( x = 1 \), \( f'(x) = 0 \). - Trên khoảng \((1, 2)\), \( f'(x) > 0 \) (hàm số tăng). - Tại \( x = 2 \), \( f'(x) = 0 \). - Trên khoảng \((2, +\infty)\), \( f'(x) > 0 \) (hàm số tăng). 2. Xác định điểm cực tiểu: - Tại \( x = -1 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương, do đó \( x = -1 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = 0 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm, do đó \( x = 0 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = 1 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương, do đó \( x = 1 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = 2 \): \( f'(x) \) không đổi dấu (dương sang dương), do đó không phải là điểm cực trị. Vậy, hàm số có 2 điểm cực tiểu tại \( x = -1 \) và \( x = 1 \). Đáp án: C. 2 Câu 5: Để tìm điểm cực đại của đồ thị hàm số \( y = -x^3 + 3x^2 + 2 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + 3x^2 + 2) = -3x^2 + 6x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các giá trị tới hạn: \[ -3x^2 + 6x = 0 \] \[ -3x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] 3. Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số: \[ y'' = \frac{d}{dx}(-3x^2 + 6x) = -6x + 6 \] 4. Thay các giá trị tới hạn vào đạo hàm bậc hai để kiểm tra tính chất của các điểm này: - Tại \( x = 0 \): \[ y''(0) = -6(0) + 6 = 6 > 0 \] Điều này cho thấy tại \( x = 0 \), hàm số có điểm cực tiểu. - Tại \( x = 2 \): \[ y''(2) = -6(2) + 6 = -12 + 6 = -6 < 0 \] Điều này cho thấy tại \( x = 2 \), hàm số có điểm cực đại. 5. Tính giá trị của hàm số tại \( x = 2 \): \[ y(2) = -(2)^3 + 3(2)^2 + 2 = -8 + 12 + 2 = 6 \] Vậy, điểm cực đại của đồ thị hàm số có tọa độ là \( (2; 6) \). Đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~(2;6)} \]