Giải hộ mình

Câu 5: Để giải bài toán này, ta cần tính thể tích \( V \) của khối hộp chữ nhật không có nắp được tạo thành từ tấm nhôm. 1. Xác định kích thước của khối hộp: - Tấm nhôm ban đầu có dạng hình vuông với cạnh dài 3 dm. - Sau khi cắt bốn hình vuông có cạnh \( x \) dm ở bốn góc, kích thước của đáy khối hộp sẽ là \((3 - 2x) \times (3 - 2x)\) dm. - Chiều cao của khối hộp là \( x \) dm. 2. Biểu thức thể tích \( V \): Thể tích \( V \) của khối hộp là: \[ V = (3 - 2x)^2 \times x \] 3. Tìm điều kiện xác định: - Để khối hộp có thể hình thành, các cạnh của đáy phải dương: \(3 - 2x > 0\). - Điều này dẫn đến \(x < \frac{3}{2}\). - Ngoài ra, \(x\) phải lớn hơn 0 để có thể cắt được hình vuông. Vậy, điều kiện xác định là \(0 < x < \frac{3}{2}\). 4. Tìm giá trị lớn nhất của \( V \): - Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( V(x) = (3 - 2x)^2 \times x \) trên khoảng \( (0, \frac{3}{2}) \). - Tính đạo hàm của \( V(x) \): \[ V'(x) = \frac{d}{dx}[(3 - 2x)^2 \times x] = 2(3 - 2x)(-2)x + (3 - 2x)^2 \] \[ = -4x(3 - 2x) + (3 - 2x)^2 \] \[ = (3 - 2x)(-4x + 3 - 2x) \] \[ = (3 - 2x)(3 - 6x) \] - Giải phương trình \( V'(x) = 0 \): \[ (3 - 2x)(3 - 6x) = 0 \] - \(3 - 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}\) (loại vì không thuộc khoảng xác định). - \(3 - 6x = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\). - Kiểm tra giá trị tại \( x = \frac{1}{2} \) và các giá trị biên: - \( V\left(\frac{1}{2}\right) = (3 - 2 \times \frac{1}{2})^2 \times \frac{1}{2} = (2)^2 \times \frac{1}{2} = 4 \times \frac{1}{2} = 2 \) dm\(^3\). 5. Kết luận: Giá trị lớn nhất của thể tích \( V \) là 2 dm\(^3\), đạt được khi \( x = \frac{1}{2} \) dm. Câu 6: Để giải bài toán này, ta cần phân tích đồ thị của hàm số \( y = \frac{3x + a}{x + b} \). Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) Hàm số xác định khi \( x + b \neq 0 \), tức là \( x \neq -b \). Bước 2: Xác định tiệm cận - Tiệm cận đứng: \( x = -b \). - Tiệm cận ngang: Vì bậc tử và bậc mẫu đều là 1, nên tiệm cận ngang là \( y = \frac{3}{1} = 3 \). Bước 3: Phân tích đồ thị Từ hình vẽ, ta thấy: - Đồ thị có tiệm cận ngang \( y = 3 \). - Tiệm cận đứng là \( x = 2 \). Do đó, \( b = -2 \). Bước 4: Tìm điểm cắt trục tung Để tìm điểm cắt trục tung, cho \( x = 0 \): \[ y = \frac{3 \cdot 0 + a}{0 + b} = \frac{a}{b} \] Từ hình vẽ, điểm cắt trục tung là \( (0, -1) \), nên: \[ \frac{a}{b} = -1 \] Thay \( b = -2 \) vào, ta có: \[ \frac{a}{-2} = -1 \] \[ a = 2 \] Bước 5: Tính giá trị của \( P \) \[ P = 2024a - 25b = 2024 \cdot 2 - 25 \cdot (-2) \] \[ P = 4048 + 50 = 4098 \] Vậy, giá trị của \( P \) là \( 4098 \).