F R r uvucyffyyc

Câu 1: Để tìm phương trình tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2 - 16}{x + 5} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Biểu thức xác định khi mẫu số khác 0, tức là \( x + 5 \neq 0 \). Do đó, \( x \neq -5 \). 2. Tìm phương trình tiệm cận xiên: Phương trình tiệm cận xiên có dạng \( y = ax + b \). Để tìm \( a \) và \( b \), ta thực hiện phép chia đa thức: Chia tử số \( x^2 - 16 \) cho mẫu số \( x + 5 \): \[ \begin{array}{r|l} x + 5 & x^2 - 16 \\ \hline x & x^2 + 5x \\ \hline & -5x - 16 \\ \hline -5 & -5x - 25 \\ \hline & 9 \\ \end{array} \] Kết quả của phép chia là \( x - 5 + \frac{9}{x+5} \). Khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \), thành phần \( \frac{9}{x+5} \to 0 \). Do đó, phương trình tiệm cận xiên là: \[ y = x - 5 \] Vậy \( a = 1 \) và \( b = -5 \). 3. Tính \( 3a - b \): \[ 3a - b = 3 \times 1 - (-5) = 3 + 5 = 8 \] Kết luận: Giá trị của \( 3a - b \) là 8. Câu 2: Để xác định số điểm cực trị của hàm số \( y = f(x) \), ta cần xem xét đồ thị của hàm số \( y = f'(x) \). 1. Điểm cực trị của hàm số \( y = f(x) \): - Điểm cực trị của hàm số \( y = f(x) \) xảy ra khi \( f'(x) = 0 \) và đổi dấu. 2. Quan sát đồ thị \( y = f'(x) \): - Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm, giả sử là \( x_1, x_2, x_3 \). 3. Xét dấu của \( f'(x) \): - Tại \( x_1 \), \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm (điểm cực đại). - Tại \( x_2 \), \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương (điểm cực tiểu). - Tại \( x_3 \), \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm (điểm cực đại). 4. Kết luận: - Hàm số \( y = f(x) \) có 3 điểm cực trị. Vậy, hàm số \( y = f(x) \) có 3 điểm cực trị. Câu 3: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{\ln x}{x} \) trên đoạn \([2; e^2]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y = \frac{\ln x}{x} \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ y' = \frac{( \ln x )' \cdot x - \ln x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ \frac{1 - \ln x}{x^2} = 0 \] Điều này xảy ra khi: \[ 1 - \ln x = 0 \implies \ln x = 1 \implies x = e \] 3. Kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn \([2; e^2]\): - Tại \( x = 2 \): \[ y(2) = \frac{\ln 2}{2} \approx \frac{0.6931}{2} \approx 0.3466 \] - Tại \( x = e \): \[ y(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e} \approx \frac{1}{2.7183} \approx 0.3679 \] - Tại \( x = e^2 \): \[ y(e^2) = \frac{\ln e^2}{e^2} = \frac{2}{e^2} \approx \frac{2}{7.3891} \approx 0.2707 \] 4. So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị nhỏ nhất: - \( y(2) \approx 0.3466 \) - \( y(e) \approx 0.3679 \) - \( y(e^2) \approx 0.2707 \) Giá trị nhỏ nhất trong các giá trị trên là \( y(e^2) \approx 0.2707 \). 5. Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{\ln x}{x} \) trên đoạn \([2; e^2]\) là khoảng \( 0.27 \) (làm tròn đến hàng phần trăm). Câu 4: Để tìm vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng thời gian 10 giây, chúng ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm vận tốc của vật tại thời điểm t. Vận tốc của vật tại thời điểm t là đạo hàm của quãng đường S theo thời gian t: \[ v(t) = S'(t) = -3t^2 + 30t \] Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất của vận tốc trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 giây. Để tìm giá trị lớn nhất của vận tốc, chúng ta cần tìm đạo hàm của vận tốc và giải phương trình để tìm các điểm cực trị. Đạo hàm của vận tốc: \[ v'(t) = -6t + 30 \] Giải phương trình \( v'(t) = 0 \): \[ -6t + 30 = 0 \] \[ t = 5 \] Bước 3: Kiểm tra giá trị của vận tốc tại các điểm giới hạn và tại điểm cực trị. - Tại \( t = 0 \): \[ v(0) = -3(0)^2 + 30(0) = 0 \] - Tại \( t = 5 \): \[ v(5) = -3(5)^2 + 30(5) = -75 + 150 = 75 \] - Tại \( t = 10 \): \[ v(10) = -3(10)^2 + 30(10) = -300 + 300 = 0 \] Bước 4: So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất. Trong các giá trị trên, giá trị lớn nhất của vận tốc là 75 m/s, đạt được khi \( t = 5 \). Vậy, vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động là 75 m/s. Câu 1: Để tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm \( t = 3 \, \text{s} \), ta cần xác định độ dốc của đồ thị vận tốc tại thời điểm đó, vì gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian. 1. Xác định đoạn thẳng chứa \( t = 3 \, \text{s} \): - Quan sát đồ thị, ta thấy đoạn thẳng từ \( t = 2 \, \text{s} \) đến \( t = 4 \, \text{s} \) là đoạn thẳng dốc xuống. 2. Tính độ dốc của đoạn thẳng: - Tại \( t = 2 \, \text{s} \), vận tốc \( v = 6 \, \text{m/s} \). - Tại \( t = 4 \, \text{s} \), vận tốc \( v = 0 \, \text{m/s} \). - Độ dốc (gia tốc) được tính bằng công thức: \[ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{0 - 6}{4 - 2} = \frac{-6}{2} = -3 \, \text{m/s}^2 \] 3. Kết luận: - Gia tốc của chuyển động tại thời điểm \( t = 3 \, \text{s} \) là \( -3 \, \text{m/s}^2 \). Câu 2: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là nhỏ nhất. Trước tiên, ta cần biểu diễn diện tích toàn phần theo \( x \). Bước 1: Biểu diễn chiều cao \( h \) theo \( x \) Thể tích của hình hộp chữ nhật là \( V = x^2 \cdot h = 27 \) (vì đáy là hình vuông cạnh \( x \)). Từ đó, ta có: \[ h = \frac{27}{x^2} \] Bước 2: Biểu diễn diện tích toàn phần \( S \) theo \( x \) Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là tổng diện tích của tất cả các mặt: \[ S = 2x^2 + 4xh \] Thay \( h = \frac{27}{x^2} \) vào biểu thức của \( S \), ta được: \[ S = 2x^2 + 4x \cdot \frac{27}{x^2} = 2x^2 + \frac{108}{x} \] Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( S \) Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( S \), ta cần tính đạo hàm của \( S \) theo \( x \) và tìm các điểm tới hạn: \[ S' = \frac{d}{dx}\left(2x^2 + \frac{108}{x}\right) = 4x - \frac{108}{x^2} \] Đặt \( S' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 4x - \frac{108}{x^2} = 0 \] \[ 4x^3 = 108 \] \[ x^3 = 27 \] \[ x = 3 \] Bước 4: Kiểm tra giá trị nhỏ nhất Ta cần kiểm tra xem \( x = 3 \) có phải là điểm mà \( S \) đạt giá trị nhỏ nhất hay không. Xét dấu của \( S' \): - Khi \( x < 3 \), \( S' < 0 \) (vì \( 4x < \frac{108}{x^2} \)), do đó \( S \) giảm. - Khi \( x > 3 \), \( S' > 0 \) (vì \( 4x > \frac{108}{x^2} \)), do đó \( S \) tăng. Vậy, \( S \) đạt giá trị nhỏ nhất tại \( x = 3 \). Kết luận: Giá trị của \( x \) để diện tích toàn phần của hình hộp là nhỏ nhất là \( x = 3 \, \text{cm} \). Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá vé sao cho doanh thu từ tiền bán vé là lớn nhất. Gọi \( x \) là số lần giảm giá vé, mỗi lần giảm 10 nghìn đồng. Khi đó: - Giá vé mới là \( 100 - 10x \) nghìn đồng. - Số lượng khán giả tăng lên là \( 27000 + 3000x \). Doanh thu \( R \) từ tiền bán vé được tính bằng công thức: \[ R = (\text{giá vé}) \times (\text{số lượng khán giả}) \] \[ R = (100 - 10x)(27000 + 3000x) \] Bây giờ, chúng ta sẽ mở rộng và đơn giản hóa biểu thức trên: \[ R = (100 - 10x)(27000 + 3000x) \] \[ R = 100 \cdot 27000 + 100 \cdot 3000x - 10x \cdot 27000 - 10x \cdot 3000x \] \[ R = 2700000 + 300000x - 270000x - 30000x^2 \] \[ R = 2700000 + 30000x - 30000x^2 \] Để tìm giá trị lớn nhất của \( R \), chúng ta cần tìm đạo hàm của \( R \) theo \( x \) và đặt nó bằng 0: \[ R' = 30000 - 60000x \] \[ 30000 - 60000x = 0 \] \[ 60000x = 30000 \] \[ x = \frac{30000}{60000} \] \[ x = 0.5 \] Vậy, giá vé nên giảm 0.5 lần, tức là giảm 5 nghìn đồng. Do đó, giá vé mới là: \[ 100 - 10 \cdot 0.5 = 95 \text{ nghìn đồng} \] Kiểm tra lại: - Số lượng khán giả là \( 27000 + 3000 \cdot 0.5 = 28500 \). - Doanh thu là \( 95 \times 28500 = 2707500 \text{ nghìn đồng} \). Vậy, giá vé nên đặt là 95 nghìn đồng để doanh thu từ tiền bán vé là lớn nhất.