Giải chi tiết dùm ạ

Câu3: a) Đúng. Vì \(\lim_{x \to \pm \infty} y = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x - 3}{x + 1} = 2\). Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 2\). b) Sai. Vì \(\lim_{x \to -1^+} y = \lim_{x \to -1^+} \frac{2x - 3}{x + 1} = -\infty\) và \(\lim_{x \to -1^-} y = \lim_{x \to -1^-} \frac{2x - 3}{x + 1} = +\infty\). Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = -1\). c) Đúng. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 2\) và tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = -1\). Vậy đồ thị hàm số có tất cả hai đường tiệm cận. d) Đúng. Giao điểm của hai đường tiệm cận là \((-1, 2)\). Thay tọa độ vào phương trình đường thẳng \((\Delta): x + 2y - 3 = 0\), ta có \(-1 + 2(2) - 3 = 0\). Vậy giao điểm của hai đường tiệm cận nằm trên đường thẳng \((\Delta): x + 2y - 3 = 0\). Câu 4: Để xét tính đúng sai của các mệnh đề, ta sẽ phân tích từng mệnh đề một cách chi tiết. a) Đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 3x - 2 \) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2. - Để tìm điểm cắt trục tung, ta cho \( x = 0 \). - Thay \( x = 0 \) vào hàm số, ta có: \[ y = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 3 \cdot 0 - 2 = -2 \] - Vậy đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2. Mệnh đề a) đúng. b) Đồ thị hàm số \( y = \frac{2x-3}{x-1} \) nhận đường thẳng \( x = 2 \) làm tiệm cận đứng. - Để tìm tiệm cận đứng, ta xét mẫu số của phân thức: \( x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \). - Vậy đồ thị nhận đường thẳng \( x = 1 \) làm tiệm cận đứng, không phải \( x = 2 \). - Mệnh đề b) sai. c) Đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2+2x-2}{x-1} \) có tiệm cận xiên là đường thẳng \( y = x + 2 \). - Để tìm tiệm cận xiên, ta thực hiện phép chia đa thức: \[ \frac{x^2 + 2x - 2}{x - 1} = x + 3 + \frac{1}{x-1} \] - Vậy tiệm cận xiên là đường thẳng \( y = x + 3 \), không phải \( y = x + 2 \). - Mệnh đề c) sai. d) Đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2+2x-2}{x-1} \) nhận trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị làm tâm đối xứng. - Để tìm các điểm cực trị, ta tính đạo hàm: \[ y' = \frac{(2x+2)(x-1) - (x^2+2x-2)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 4}{(x-1)^2} \] - Giải phương trình \( y' = 0 \), ta có: \[ x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2 \] - Tính giá trị \( y \) tại \( x = 2 \) và \( x = -2 \): \[ y(2) = \frac{2^2 + 2 \cdot 2 - 2}{2-1} = 6 \] \[ y(-2) = \frac{(-2)^2 + 2 \cdot (-2) - 2}{-2-1} = 0 \] - Trung điểm của đoạn nối hai điểm cực trị là: \[ \left( \frac{2 + (-2)}{2}, \frac{6 + 0}{2} \right) = (0, 3) \] - Đồ thị nhận điểm \( (0, 3) \) làm tâm đối xứng. - Mệnh đề d) đúng. Tóm lại: - Mệnh đề a) đúng. - Mệnh đề b) sai. - Mệnh đề c) sai. - Mệnh đề d) đúng.