giải giúp ạ

Câu 40: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số \( f(z) \), ta cần xem xét dấu của đạo hàm \( f'(z) \) dựa trên bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên, ta thấy: - \( f'(z) < 0 \) trên khoảng \((- \infty, -3)\) và \((0, 3)\). - \( f'(z) > 0 \) trên khoảng \((-3, 0)\) và \((3, +\infty)\). Hàm số đồng biến khi \( f'(z) > 0 \). Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng \((-3, 0)\) và \((3, +\infty)\). Vậy đáp án đúng là \( A.~(-3, 0) \). Câu 41: Để giải bài toán này, ta cần tính tổng của hai vectơ \(\overrightarrow{A'C'}\) và \(\overrightarrow{CD}\) trong hình lập phương. 1. Xác định vectơ \(\overrightarrow{A'C'}\): Trong hình lập phương, \(\overrightarrow{A'C'}\) là vectơ nối từ \(A'\) đến \(C'\). Do \(A'\) và \(C'\) nằm trên cùng một mặt phẳng song song với mặt phẳng đáy \(ABCD\), nên \(\overrightarrow{A'C'}\) có thể được biểu diễn như sau: \[ \overrightarrow{A'C'} = \overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{B'C'} \] 2. Xác định vectơ \(\overrightarrow{CD}\): Vectơ \(\overrightarrow{CD}\) là vectơ nối từ \(C\) đến \(D\), nằm trên cạnh của hình lập phương. 3. Tính tổng \(\overrightarrow{A'C'} + \overrightarrow{CD}\): Ta có: \[ \overrightarrow{A'C'} + \overrightarrow{CD} = (\overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{B'C'}) + \overrightarrow{CD} \] Do \(\overrightarrow{B'C'}\) và \(\overrightarrow{CD}\) là hai cạnh song song và bằng nhau của hình lập phương, nên: \[ \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BD} \] Vậy: \[ \overrightarrow{A'C'} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{BD} \] Trong hình lập phương, \(\overrightarrow{A'B'}\) và \(\overrightarrow{BD}\) là hai vectơ vuông góc và có độ dài bằng nhau, nên tổng của chúng sẽ là một vectơ có độ dài bằng đường chéo của mặt phẳng chứa chúng. 4. Kết luận: Tổng \(\overrightarrow{A'C'} + \overrightarrow{CD}\) chính là \(\overrightarrow{A'D}\). Vậy đáp án đúng là \(B.~\overrightarrow{A'D}.\) Câu 42: Để xác định khoảng mà hàm số \( y = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 4 \) đồng biến, ta cần tìm đạo hàm của hàm số và xét dấu của đạo hàm. 1. Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}\left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + 4\right) = -x^2 + 2x \] 2. Tìm nghiệm của đạo hàm: \[ y' = 0 \implies -x^2 + 2x = 0 \implies x(-x + 2) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] 3. Xét dấu của đạo hàm trên các khoảng: - Khoảng \((-\infty, 0)\): Chọn \( x = -1 \): \[ y'(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) = -1 - 2 = -3 < 0 \] Hàm số nghịch biến trên khoảng này. - Khoảng \((0, 2)\): Chọn \( x = 1 \): \[ y'(1) = -(1)^2 + 2(1) = -1 + 2 = 1 > 0 \] Hàm số đồng biến trên khoảng này. - Khoảng \((2, +\infty)\): Chọn \( x = 3 \): \[ y'(3) = -(3)^2 + 2(3) = -9 + 6 = -3 < 0 \] Hàm số nghịch biến trên khoảng này. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \((0, 2)\). Đáp án đúng là: \( B.~(0;2) \). Câu 43: Để xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{u}\) trong không gian \(Oxyz\), ta cần hiểu rằng vectơ \(\overrightarrow{u}\) được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ đơn vị \(\overrightarrow{i}\), \(\overrightarrow{j}\), và \(\overrightarrow{k}\). Vectơ \(\overrightarrow{u} = -2\overrightarrow{j} + \overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{k}\) có thể được viết dưới dạng tọa độ như sau: - Hệ số của \(\overrightarrow{i}\) là \(1\), do đó tọa độ \(x\) là \(1\). - Hệ số của \(\overrightarrow{j}\) là \(-2\), do đó tọa độ \(y\) là \(-2\). - Hệ số của \(\overrightarrow{k}\) là \(3\), do đó tọa độ \(z\) là \(3\). Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{u}\) là \((1, -2, 3)\). Do đó, đáp án đúng là \(B.~\overrightarrow{u} = (1, -2, 3)\). Câu 44: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) trên đoạn \([-3; 3]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 3x^2 - 3 \] 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ hoặc } x = -1 \] 3. Đánh giá giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn \([-3; 3]\): - Tại \( x = -3 \): \[ f(-3) = (-3)^3 - 3(-3) + 2 = -27 + 9 + 2 = -16 \] - Tại \( x = -1 \): \[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 \] - Tại \( x = 1 \): \[ f(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \] - Tại \( x = 3 \): \[ f(3) = 3^3 - 3(3) + 2 = 27 - 9 + 2 = 20 \] 4. So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị nhỏ nhất: - \( f(-3) = -16 \) - \( f(-1) = 4 \) - \( f(1) = 0 \) - \( f(3) = 20 \) Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là \(-16\). Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) trên đoạn \([-3; 3]\) là \(-16\). Đáp án đúng là: B. -16. Câu 45: Để tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\), ta sử dụng công thức tính tọa độ của vectơ từ hai điểm \(A(x_1, y_1, z_1)\) và \(B(x_2, y_2, z_2)\): \[ \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) \] Áp dụng công thức này cho hai điểm \(A\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{3}, 5\right)\) và \(B\left(1, \frac{8}{3}, \frac{3}{2}\right)\): 1. Tọa độ \(x\) của \(\overrightarrow{AB}\): \[ x_2 - x_1 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \] 2. Tọa độ \(y\) của \(\overrightarrow{AB}\): \[ y_2 - y_1 = \frac{8}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3 \] 3. Tọa độ \(z\) của \(\overrightarrow{AB}\): \[ z_2 - z_1 = \frac{3}{2} - 5 = \frac{3}{2} - \frac{10}{2} = -\frac{7}{2} \] Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) là \(\left(\frac{1}{2}, 3, -\frac{7}{2}\right)\). Do đó, đáp án đúng là \(A.~\overrightarrow{AB}\left(\frac{1}{2}, 3, -\frac{7}{2}\right)\). Câu 46: Để tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{x+2}{x-2} \), ta cần xác định dạng của hàm số này. Đây là một hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, có dạng tổng quát: \[ y = \frac{ax + b}{cx + d} \] Trong trường hợp này, \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = 1 \), \( d = -2 \). Tâm đối xứng của đồ thị hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất có tọa độ: \[ \left( -\frac{d}{c}, \frac{a}{c} \right) \] Áp dụng công thức trên, ta có: - \( -\frac{d}{c} = -\frac{-2}{1} = 2 \) - \( \frac{a}{c} = \frac{1}{1} = 1 \) Vậy tọa độ của tâm đối xứng là \( (2, 1) \). Do đó, đáp án đúng là \( B.~(2;1) \). Câu 47: Để xác định đồ thị của hàm số nào trong các hàm số đã cho, ta cần phân tích từng hàm số một cách chi tiết. A. \( y = \frac{x^2 - 3x}{x - 2} \) 1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ): \( x \neq 2 \). 2. Phân tích biểu thức: \[ y = \frac{x(x - 3)}{x - 2} \] - Khi \( x \to 2 \), hàm số có tiệm cận đứng tại \( x = 2 \). B. \( y = x^3 + 3x^2 - 1 \) 1. ĐKXĐ: Hàm số này xác định với mọi \( x \in \mathbb{R} \). 2. Phân tích biểu thức: - Đây là hàm bậc ba, không có tiệm cận đứng. C. \( y = \frac{x - 1}{x - 2} \) 1. ĐKXĐ: \( x \neq 2 \). 2. Phân tích biểu thức: \[ y = \frac{x - 1}{x - 2} \] - Khi \( x \to 2 \), hàm số có tiệm cận đứng tại \( x = 2 \). D. \( y = \frac{x^2 - 2x - 3}{x - 2} \) 1. ĐKXĐ: \( x \neq 2 \). 2. Phân tích biểu thức: \[ y = \frac{(x - 3)(x + 1)}{x - 2} \] - Khi \( x \to 2 \), hàm số có tiệm cận đứng tại \( x = 2 \). So sánh với đồ thị: - Đồ thị có tiệm cận đứng tại \( x = 2 \). - Đồ thị có dạng của một hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất hoặc bậc hai trên bậc nhất. Kết luận: Hàm số \( y = \frac{x - 1}{x - 2} \) (phương án C) có tiệm cận đứng tại \( x = 2 \) và phù hợp với dạng đồ thị đã cho. Vậy, đồ thị là của hàm số \( y = \frac{x - 1}{x - 2} \). Câu 48: Để xác định hàm số \( y = f(x) \) dựa vào bảng biến thiên, ta cần phân tích các đặc điểm của hàm số từ bảng biến thiên đã cho. Phân tích bảng biến thiên: 1. Dấu của đạo hàm \( f'(x) \): - \( f'(x) > 0 \) khi \( x < -1 \) và \( x > 1 \). - \( f'(x) = 0 \) tại \( x = -1 \) và \( x = 1 \). - \( f'(x) < 0 \) khi \( -1 < x < 1 \). 2. Tính đơn điệu của hàm số \( f(x) \): - Hàm số đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, -1) \) và \( (1, +\infty) \). - Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-1, 1) \). 3. Giá trị cực trị: - Cực đại tại \( x = -1 \) với \( f(-1) = 2 \). - Cực tiểu tại \( x = 1 \) với \( f(1) = -2 \). Xét các hàm số đã cho: A. \( y = x^3 + 3x + 2 \) - Tính đạo hàm: \( y' = 3x^2 + 3 \). - \( y' = 0 \) không có nghiệm thực, do đó hàm số không có cực trị. B. \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \) - Tính đạo hàm: \( y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) \). - \( y' = 0 \) khi \( x = 0 \) hoặc \( x = 2 \), không khớp với bảng biến thiên. C. \( y = -z^2 + 3z^2 + 2 \) - Đây là một lỗi đánh máy, không phải hàm số hợp lệ. D. \( y = x^3 - 3x \) - Tính đạo hàm: \( y' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1) \). - \( y' = 0 \) khi \( x = 1 \) hoặc \( x = -1 \), khớp với bảng biến thiên. - Xét dấu của \( y' \): - \( y' > 0 \) khi \( x < -1 \) và \( x > 1 \). - \( y' < 0 \) khi \( -1 < x < 1 \). - Giá trị cực đại tại \( x = -1 \): \( y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = 2 \). - Giá trị cực tiểu tại \( x = 1 \): \( y(1) = 1^3 - 3(1) = -2 \). Kết luận: Hàm số \( y = x^3 - 3x \) (đáp án D) phù hợp với bảng biến thiên đã cho. Câu 49: Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số \( y = \frac{1 + x^3}{x + 2} \) trên đoạn \([1, 2]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y = \frac{1 + x^3}{x + 2} \] Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(3x^2)(x + 2) - (1 + x^3)(1)}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{3x^3 + 6x^2 - 1 - x^3}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{2x^3 + 6x^2 - 1}{(x + 2)^2} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ \frac{2x^3 + 6x^2 - 1}{(x + 2)^2} = 0 \] \[ 2x^3 + 6x^2 - 1 = 0 \] Đây là một phương trình bậc ba, khó giải trực tiếp. Chúng ta sẽ kiểm tra giá trị của hàm số tại các đầu mút của đoạn \([1, 2]\). 3. Kiểm tra giá trị của hàm số tại các đầu mút: - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = \frac{1 + 1^3}{1 + 2} = \frac{2}{3} \] - Tại \( x = 2 \): \[ y(2) = \frac{1 + 2^3}{2 + 2} = \frac{9}{4} \] 4. So sánh các giá trị đã tính: - \( y(1) = \frac{2}{3} \) - \( y(2) = \frac{9}{4} \) Rõ ràng, \( \frac{9}{4} > \frac{2}{3} \). 5. Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số \( y = \frac{1 + x^3}{x + 2} \) trên đoạn \([1, 2]\) là \( \frac{9}{4} \), đạt được khi \( x = 2 \). \[ \boxed{\frac{9}{4}} \]