giúp mình với ạ

Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần tìm chiều dài và chiều rộng của trang sách sao cho diện tích của trang sách là nhỏ nhất, với điều kiện diện tích phần in chữ là $384 \, \text{cm}^2$. Gọi \( x \) là chiều rộng của phần in chữ (cm), và \( y \) là chiều dài của phần in chữ (cm). Theo đề bài, ta có phương trình: \[ x \cdot y = 384 \] Chiều rộng của trang sách sẽ là \( x + 2 + 2 = x + 4 \) (cm) do có lề trái và lề phải mỗi bên 2 cm. Tương tự, chiều dài của trang sách sẽ là \( y + 3 + 3 = y + 6 \) (cm) do có lề trên và lề dưới mỗi bên 3 cm. Diện tích của trang sách là: \[ (x + 4)(y + 6) \] Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này. Thay \( y = \frac{384}{x} \) vào biểu thức diện tích trang sách, ta có: \[ (x + 4)\left(\frac{384}{x} + 6\right) \] Khai triển biểu thức trên: \[ = (x + 4)\left(\frac{384}{x} + 6\right) = 384 + \frac{2304}{x} + 6x + 24 \] \[ = 6x + \frac{2304}{x} + 408 \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này, ta xét hàm số: \[ f(x) = 6x + \frac{2304}{x} \] Tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = 6 - \frac{2304}{x^2} \] Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ 6 - \frac{2304}{x^2} = 0 \implies \frac{2304}{x^2} = 6 \implies x^2 = \frac{2304}{6} = 384 \implies x = \sqrt{384} \] Tính \( x \): \[ x = \sqrt{384} = \sqrt{64 \times 6} = 8\sqrt{6} \] Với \( x = 8\sqrt{6} \), ta tìm \( y \): \[ y = \frac{384}{x} = \frac{384}{8\sqrt{6}} = \frac{48}{\sqrt{6}} = 8\sqrt{6} \] Vậy chiều dài của trang sách là: \[ y + 6 = 8\sqrt{6} + 6 \] Do đó, chiều dài của trang sách khi diện tích nhỏ nhất là \( 8\sqrt{6} + 6 \) cm. Câu 5: Để giải bài toán này, ta cần xác định các kích thước của hình lăng trụ đứng tam giác OAB.O'A'B' dựa trên tọa độ đã cho. 1. Chiều dài \(a\): - Chiều dài của căn nhà gỗ là độ dài đoạn \(A'A'\). - Tọa độ của \(A'\) là \((240; 450; 0)\) và \(O'\) là \((0; 450; 0)\). - Độ dài \(A'O'\) là: \[ a = \sqrt{(240 - 0)^2 + (450 - 450)^2 + (0 - 0)^2} = 240 \text{ cm} \] 2. Chiều rộng \(b\): - Chiều rộng của căn nhà gỗ là độ dài đoạn \(A'B'\). - Tọa độ của \(A'\) là \((240; 450; 0)\) và \(B'\) là \((120; 450; 300)\). - Độ dài \(A'B'\) là: \[ b = \sqrt{(120 - 240)^2 + (450 - 450)^2 + (300 - 0)^2} = \sqrt{(-120)^2 + 300^2} = \sqrt{14400 + 90000} = \sqrt{104400} = 60\sqrt{29} \text{ cm} \] 3. Chiều cao \(c\): - Chiều cao của căn nhà gỗ là độ dài đoạn \(BB'\). - Tọa độ của \(B\) là \((0; 0; 300)\) và \(B'\) là \((120; 450; 300)\). - Độ dài \(BB'\) là: \[ c = \sqrt{(120 - 0)^2 + (450 - 0)^2 + (300 - 300)^2} = \sqrt{120^2 + 450^2} = \sqrt{14400 + 202500} = \sqrt{216900} = 30\sqrt{241} \text{ cm} \] 4. Tính tổng \(a + b + c\): \[ a + b + c = 240 + 60\sqrt{29} + 30\sqrt{241} \] Vậy, tổng \(a + b + c\) là \(240 + 60\sqrt{29} + 30\sqrt{241}\) cm. Câu 6: Để tìm góc dốc của mái nhà, ta cần xác định góc giữa hai mặt phẳng \((DEFG)\) và \((DEIH)\). Bước 1: Xác định các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng - Mặt phẳng \((DEFG)\) có các điểm \(D(0, 4, 3)\), \(E(0, 4, 0)\), \(G(0, 2, 4)\). - Vectơ \(\overrightarrow{DE} = (0, 0, -3)\) - Vectơ \(\overrightarrow{DG} = (0, -2, 1)\) - Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_1} = \overrightarrow{DE} \times \overrightarrow{DG} = (0, 0, -3) \times (0, -2, 1) = (-6, 0, 0)\) - Mặt phẳng \((DEIH)\) có các điểm \(D(0, 4, 3)\), \(E(0, 4, 0)\), \(H(0, 0, 3)\). - Vectơ \(\overrightarrow{DE} = (0, 0, -3)\) - Vectơ \(\overrightarrow{DH} = (0, -4, 0)\) - Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_2} = \overrightarrow{DE} \times \overrightarrow{DH} = (0, 0, -3) \times (0, -4, 0) = (-12, 0, 0)\) Bước 2: Tính góc giữa hai mặt phẳng Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng. Ta có: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{\|\overrightarrow{n_1}\| \cdot \|\overrightarrow{n_2}\|} \] - \(\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = (-6, 0, 0) \cdot (-12, 0, 0) = 72\) - \(\|\overrightarrow{n_1}\| = \sqrt{(-6)^2 + 0^2 + 0^2} = 6\) - \(\|\overrightarrow{n_2}\| = \sqrt{(-12)^2 + 0^2 + 0^2} = 12\) \[ \cos \theta = \frac{72}{6 \times 12} = 1 \] Vì \(\cos \theta = 1\), nên \(\theta = 0^\circ\). Kết luận: Góc dốc của mái nhà là \(0^\circ\).