giải giúp mình ạ

Để xác định mệnh đề nào là đúng, ta cần kiểm tra từng mệnh đề một cách cẩn thận bằng cách sử dụng các phép biến đổi vector cơ bản. Mệnh đề A: \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DC}\). - Xét vế trái: \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}\). - Xét vế phải: \(\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CA}\). Hai vế không bằng nhau, do đó mệnh đề A sai. Mệnh đề B: \(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BC}\). - Xét vế trái: \(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DC}\). - Xét vế phải: \(\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CD}\). Hai vế không bằng nhau, do đó mệnh đề B sai. Mệnh đề C: \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC}\). - Xét vế trái: \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DB}\). - Xét vế phải: \(\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BD}\). Hai vế không bằng nhau, do đó mệnh đề C sai. Mệnh đề D: \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DB} - \overrightarrow{DC}\). - Xét vế trái: \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB}\). - Xét vế phải: \(\overrightarrow{DB} - \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CB}\). Hai vế bằng nhau, do đó mệnh đề D đúng. Vậy, mệnh đề đúng là mệnh đề D: \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DB} - \overrightarrow{DC}\). Câu 17: Để xác định đồ thị thuộc hàm số nào, ta cần phân tích các đặc điểm của đồ thị và so sánh với các hàm số đã cho. 1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Các hàm số đều có dạng phân thức, nên điều kiện xác định là mẫu số khác 0. - Với các hàm số có mẫu số là \(x-2\), điều kiện xác định là \(x \neq 2\). - Với hàm số có mẫu số là \(x+2\), điều kiện xác định là \(x \neq -2\). 2. Phân tích đồ thị: - Đồ thị có tiệm cận đứng tại \(x = 2\), điều này loại trừ hàm số \(B\) vì hàm số này có tiệm cận đứng tại \(x = -2\). - Đồ thị có tiệm cận ngang. Để xác định tiệm cận ngang, ta xét giới hạn của hàm số khi \(x \to \pm \infty\). 3. Xét từng hàm số: - Hàm số \(A: y = \frac{z^2-z-1}{x-2}\): Không phù hợp vì biến số không khớp (sai biến số). - Hàm số \(C: y = \frac{x^2-2x-1}{x-2}\): - Tiệm cận ngang: \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2-2x-1}{x-2} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2}{x} = x = \infty\), không có tiệm cận ngang. - Phân tích nghiệm của tử số: \(x^2-2x-1 = 0\) có nghiệm \(x = 1 \pm \sqrt{2}\). - Hàm số \(D: y = \frac{-x^2+x-1}{x-2}\): - Tiệm cận ngang: \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{-x^2+x-1}{x-2} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{-x^2}{x} = -x = -\infty\), không có tiệm cận ngang. - Phân tích nghiệm của tử số: \(-x^2+x-1 = 0\) có nghiệm \(x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\). 4. Kết luận: - Đồ thị có tiệm cận đứng tại \(x = 2\) và không có tiệm cận ngang, phù hợp với hàm số \(C\). - Do đó, đồ thị thuộc hàm số \(C: y = \frac{x^2-2x-1}{x-2}\). Câu 18: Để xác định tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = f(x) \), ta cần phân tích bảng biến thiên và đồ thị đã cho. 1. Tiệm cận đứng - Tiệm cận đứng xảy ra khi hàm số có giới hạn vô cùng tại một điểm nào đó. - Từ bảng biến thiên, ta thấy: - Khi \( x \to 0^- \), \( y \to +\infty \). - Khi \( x \to 0^+ \), \( y \to -\infty \). Điều này cho thấy \( x = 0 \) là một đường tiệm cận đứng. 2. Tiệm cận ngang - Tiệm cận ngang xảy ra khi hàm số có giới hạn hữu hạn khi \( x \to \pm\infty \). - Từ bảng biến thiên, ta thấy: - Khi \( x \to -\infty \), \( y \to 2 \). - Khi \( x \to +\infty \), \( y \to -2 \). Điều này cho thấy có hai đường tiệm cận ngang là \( y = 2 \) và \( y = -2 \). Kết luận Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là \( 1 + 2 = 3 \). Vậy đáp án đúng là A. 3. Câu 19: Để tìm giá trị cực đại của hàm số \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \) (với \( a, b, c, d \in \mathbb{R} \) và \( a \neq 0 \)), chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = 3ax^2 + 2bx + c \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 3ax^2 + 2bx + c = 0 \] Đây là phương trình bậc hai, và chúng ta có thể giải nó bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-2b \pm \sqrt{(2b)^2 - 4 \cdot 3a \cdot c}}{2 \cdot 3a} = \frac{-2b \pm \sqrt{4b^2 - 12ac}}{6a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 3ac}}{3a} \] 3. Xác định các điểm tới hạn \( x_1 \) và \( x_2 \): \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 3ac}}{3a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 3ac}}{3a} \] 4. Thay các điểm tới hạn vào hàm số ban đầu để tìm giá trị của hàm số tại các điểm này: \[ y(x_1) = a \left( \frac{-b + \sqrt{b^2 - 3ac}}{3a} \right)^3 + b \left( \frac{-b + \sqrt{b^2 - 3ac}}{3a} \right)^2 + c \left( \frac{-b + \sqrt{b^2 - 3ac}}{3a} \right) + d \] \[ y(x_2) = a \left( \frac{-b - \sqrt{b^2 - 3ac}}{3a} \right)^3 + b \left( \frac{-b - \sqrt{b^2 - 3ac}}{3a} \right)^2 + c \left( \frac{-b - \sqrt{b^2 - 3ac}}{3a} \right) + d \] 5. So sánh các giá trị \( y(x_1) \) và \( y(x_2) \) để tìm giá trị cực đại: - Nếu \( y(x_1) > y(x_2) \), thì giá trị cực đại là \( y(x_1) \). - Nếu \( y(x_2) > y(x_1) \), thì giá trị cực đại là \( y(x_2) \). 6. Kiểm tra đồ thị để xác nhận giá trị cực đại: - Từ đồ thị, chúng ta thấy rằng giá trị cực đại của hàm số là 3. Do đó, giá trị cực đại của hàm số đã cho là: \[ \boxed{3} \] Câu 20: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm tọa độ của các điểm còn lại của hình hộp ABCD.A'B'C'D' dựa trên các thông tin đã cho. Bước 1: Xác định tọa độ của các điểm đã biết - Điểm \( A(0;0;0) \) - Điểm \( B(3;0;0) \) - Điểm \( D(0;3;0) \) - Điểm \( D'(0;3;-3) \) Bước 2: Xác định tọa độ của điểm \( C \) Vì \( ABCD \) là một hình chữ nhật trong mặt phẳng \( Oxy \), nên tọa độ của điểm \( C \) có dạng \( (x_C, y_C, 0) \). Do \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \), ta có: - \( x_C = x_B = 3 \) - \( y_C = y_D = 3 \) Vậy tọa độ của điểm \( C \) là \( C(3;3;0) \). Bước 3: Xác định tọa độ của điểm \( A' \) Điểm \( A' \) là điểm đối xứng của \( A \) qua mặt phẳng \( Oxy \), nên tọa độ của \( A' \) là \( A'(0;0;z) \). Bước 4: Xác định tọa độ của điểm \( B' \) Điểm \( B' \) là điểm đối xứng của \( B \) qua mặt phẳng \( Oxy \), nên tọa độ của \( B' \) là \( B'(3;0;z) \). Bước 5: Xác định tọa độ của điểm \( C' \) Điểm \( C' \) là điểm đối xứng của \( C \) qua mặt phẳng \( Oxy \), nên tọa độ của \( C' \) là \( C'(3;3;z) \). Bước 6: Xác định tọa độ của điểm \( D' \) Điểm \( D' \) đã được cho là \( D'(0;3;-3) \). Bước 7: Tìm tọa độ của trọng tâm tam giác \( A'B'C' \) Trọng tâm \( G \) của tam giác \( A'B'C' \) có tọa độ: \[ G\left(\frac{x_{A'} + x_{B'} + x_{C'}}{3}, \frac{y_{A'} + y_{B'} + y_{C'}}{3}, \frac{z_{A'} + z_{B'} + z_{C'}}{3}\right) \] Theo đề bài, tọa độ của trọng tâm là \( (1;1;-2) \). Bước 8: Giải hệ phương trình Từ tọa độ của trọng tâm, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} \frac{0 + 3 + 3}{3} = 1 \\ \frac{0 + 0 + 3}{3} = 1 \\ \frac{z_{A'} + z_{B'} + z_{C'}}{3} = -2 \end{cases} \] Hai phương trình đầu tiên đã thỏa mãn, ta chỉ cần giải phương trình thứ ba: \[ \frac{z_{A'} + z_{B'} + z_{C'}}{3} = -2 \implies z_{A'} + z_{B'} + z_{C'} = -6 \] Bước 9: Kết luận Vì \( A', B', C' \) là các điểm đối xứng qua mặt phẳng \( Oxy \), ta có: - \( z_{A'} = z_{B'} = z_{C'} = -2 \) Vậy tọa độ của các điểm là: - \( A'(0;0;-2) \) - \( B'(3;0;-2) \) - \( C'(3;3;-2) \) Tọa độ của các điểm đã được xác định chính xác. Câu 21: Để tìm liều lượng thuốc cần tiêm để bệnh nhân có huyết áp giảm nhiều nhất, chúng ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho hàm số \( G(x) = 0,025x^2(30 - x) \) đạt giá trị lớn nhất. Bước 1: Tìm đạo hàm của \( G(x) \). \[ G(x) = 0,025x^2(30 - x) \] \[ G'(x) = 0,025 \left[ 2x(30 - x) + x^2(-1) \right] \] \[ G'(x) = 0,025 \left[ 60x - 2x^2 - x^2 \right] \] \[ G'(x) = 0,025 \left[ 60x - 3x^2 \right] \] \[ G'(x) = 0,025 \cdot 3x(20 - x) \] \[ G'(x) = 0,075x(20 - x) \] Bước 2: Giải phương trình \( G'(x) = 0 \) để tìm các điểm dừng. \[ 0,075x(20 - x) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 20 - x = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 20 \] Bước 3: Kiểm tra giá trị của \( G(x) \) tại các điểm dừng và giới hạn của khoảng \( (0 < x < 30) \). \[ G(0) = 0,025 \cdot 0^2 \cdot (30 - 0) = 0 \] \[ G(20) = 0,025 \cdot 20^2 \cdot (30 - 20) = 0,025 \cdot 400 \cdot 10 = 100 \] \[ G(30) = 0,025 \cdot 30^2 \cdot (30 - 30) = 0 \] Bước 4: So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất. \[ G(0) = 0 \] \[ G(20) = 100 \] \[ G(30) = 0 \] Giá trị lớn nhất của \( G(x) \) là 100, đạt được khi \( x = 20 \). Do đó, liều lượng thuốc cần tiêm để bệnh nhân có huyết áp giảm nhiều nhất là \( z = 20 \) mg. Đáp án: \( B.~z=20(mg) \) Câu 22: Để tìm phương trình của đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{ax+b}{cx+d} \), ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho mẫu số bằng 0, tức là: \[ cx + d = 0. \] Giải phương trình này, ta có: \[ x = -\frac{d}{c}. \] Nhìn vào hình vẽ, ta thấy đường tiệm cận đứng nằm tại \( x = 1 \). Do đó, phương trình của đường tiệm cận đứng là \( x = 1 \). Vậy đáp án đúng là \( D.~y=1. \) Câu 23: Để giải bài toán này, ta cần tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{A'C'}\) trong hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). 1. Xác định tọa độ các điểm: Giả sử điểm \(A\) có tọa độ \((0, 0, 0)\). Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương cạnh \(a\), ta có: - \(B\) có tọa độ \((a, 0, 0)\). - \(A'\) có tọa độ \((0, 0, a)\). - \(C'\) có tọa độ \((a, a, a)\). 2. Tính các vectơ: - Vectơ \(\overrightarrow{AB} = (a, 0, 0)\). - Vectơ \(\overrightarrow{A'C'} = (a, a, 0)\). 3. Tính tích vô hướng: Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{A'C'}\) được tính bằng công thức: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{A'C'} = a \cdot a + 0 \cdot a + 0 \cdot 0 = a^2 \] Vậy, tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{A'C'}\) là \(a^2\). Do đó, đáp án đúng là không có trong các lựa chọn đã cho. Có thể có lỗi trong đề bài hoặc các lựa chọn. Tuy nhiên, theo tính toán, kết quả đúng là \(a^2\). Câu 24: Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{x-2}{x+1} \), chúng ta cần xét giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến \( +\infty \) và \( -\infty \). 1. Xét giới hạn của hàm số khi \( x \to +\infty \): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x-2}{x+1} \] Ta chia cả tử số và mẫu số cho \( x \): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{x-2}{x}}{\frac{x+1}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \] Khi \( x \to +\infty \), các hạng tử \(\frac{2}{x}\) và \(\frac{1}{x}\) đều tiến về 0: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1 \] 2. Xét giới hạn của hàm số khi \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{x-2}{x+1} \] Tương tự như trên, ta chia cả tử số và mẫu số cho \( x \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{x-2}{x}}{\frac{x+1}{x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \] Khi \( x \to -\infty \), các hạng tử \(\frac{2}{x}\) và \(\frac{1}{x}\) đều tiến về 0: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1 \] Vậy, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{x-2}{x+1} \) là \( y = 1 \). Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, không có đáp án nào là \( y = 1 \). Do đó, có vẻ như có sự nhầm lẫn trong các đáp án đưa ra. Nhưng nếu dựa vào các đáp án đã cho, thì không có đáp án nào đúng.