Bài 2: Cho đường tròn tâm O bán kính và dây AB. Biết rằng số đo cung AB=90 a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB. b) Tính độ dài dây AB.

Bài 2: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng một số kiến thức về hình học liên quan đến đường tròn. a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB. Vì số đo cung AB là 90 độ, nên góc ở tâm AOB cũng là 90 độ. Trong tam giác OAB, ta có: - OA = OB = bán kính của đường tròn (ký hiệu là R). - Góc AOB = 90 độ. Do đó, tam giác OAB là tam giác vuông tại O. Đường cao từ O đến dây AB chính là đoạn thẳng OM, trong đó M là trung điểm của dây AB. Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông OAM, ta có: \[ OM^2 + AM^2 = OA^2 \] Vì M là trung điểm của AB, nên AM = MB = \(\frac{AB}{2}\). Do đó: \[ OM^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2 = R^2 \] Vì góc AOB = 90 độ, nên tam giác OAB là tam giác vuông cân, do đó: \[ AB = \sqrt{2} \times OM \] Thay vào phương trình trên, ta có: \[ OM^2 + \left(\frac{\sqrt{2} \times OM}{2}\right)^2 = R^2 \] Giải phương trình này để tìm OM: \[ OM^2 + \frac{2 \times OM^2}{4} = R^2 \] \[ OM^2 + \frac{OM^2}{2} = R^2 \] \[ \frac{3OM^2}{2} = R^2 \] \[ 3OM^2 = 2R^2 \] \[ OM^2 = \frac{2R^2}{3} \] \[ OM = \sqrt{\frac{2R^2}{3}} = \frac{R\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \] Vậy khoảng cách từ tâm O đến dây AB là \(\frac{R\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\). b) Tính độ dài dây AB. Từ phần a, ta đã có: \[ AB = \sqrt{2} \times OM \] Thay giá trị của OM vào, ta có: \[ AB = \sqrt{2} \times \frac{R\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \] \[ AB = \frac{2R}{\sqrt{3}} \] Vậy độ dài dây AB là \(\frac{2R}{\sqrt{3}}\).