Câu 51. Cho tam giac abc vuông tại a , có ah là đường cao. Kẻ he vuông góc ab tại e , kẻ hf vuông góc ac tại tai f . a) Chứng minh tứ giác aehf là hình chữ nhật . b) Lấy điểm m sao cho F là trung điểm...

Câu 51: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh tứ giác \(AEHF\) là hình chữ nhật. Để chứng minh tứ giác \(AEHF\) là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng nó có bốn góc vuông. 1. Theo giả thiết, \(HE \perp AB\) tại \(E\), do đó \(\angle AHE = 90^\circ\). 2. Theo giả thiết, \(HF \perp AC\) tại \(F\), do đó \(\angle AHF = 90^\circ\). 3. Vì \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\), nên \(AH \perp BC\), do đó \(\angle AHB = 90^\circ\). 4. Từ hai điều trên, ta có \(\angle AHE = \angle AHF = 90^\circ\). Vì \(HE \perp AB\) và \(HF \perp AC\), nên \(HE \parallel HF\) và \(AE \parallel HF\). Vậy tứ giác \(AEHF\) có hai cặp cạnh đối song song và bốn góc vuông, do đó \(AEHF\) là hình chữ nhật. b) Chứng minh tứ giác \(EFMH\) là hình bình hành. Để chứng minh tứ giác \(EFMH\) là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng nó có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. 1. Theo giả thiết, \(F\) là trung điểm của \(AM\), do đó \(AF = FM\). 2. Từ phần a), ta đã có \(HE \parallel HF\). 3. Vì \(HE \parallel HF\) và \(F\) là trung điểm của \(AM\), nên \(EF \parallel MH\). Vậy tứ giác \(EFMH\) có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, do đó \(EFMH\) là hình bình hành. c) Tam giác \(ABC\) cần thêm điều kiện gì để tứ giác \(AEHF\) là hình vuông. Để tứ giác \(AEHF\) là hình vuông, ngoài việc là hình chữ nhật, nó cần có thêm điều kiện là các cạnh kề bằng nhau. 1. Từ phần a), ta đã chứng minh \(AEHF\) là hình chữ nhật. 2. Để \(AEHF\) là hình vuông, cần có \(AE = AH\). Vì \(AE\) và \(AH\) là các đoạn thẳng vuông góc với \(AB\) và \(AC\) tương ứng, điều này xảy ra khi tam giác \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\), tức là \(AB = AC\). Vậy, tam giác \(ABC\) cần thêm điều kiện là tam giác vuông cân tại \(A\) để tứ giác \(AEHF\) là hình vuông.