Giúp mình với!

Ta có: \( M = \frac{1}{5} + \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} + \frac{4}{5^4} + ... + \frac{100}{5^{100}} \) Nhân cả hai vế của \( M \) với 5, ta được: \[ 5M = 1 + \frac{2}{5} + \frac{3}{5^2} + \frac{4}{5^3} + ... + \frac{100}{5^{99}} \] Bây giờ, trừ \( M \) từ \( 5M \): \[ 5M - M = \left(1 + \frac{2}{5} + \frac{3}{5^2} + \frac{4}{5^3} + ... + \frac{100}{5^{99}}\right) - \left(\frac{1}{5} + \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} + \frac{4}{5^4} + ... + \frac{100}{5^{100}}\right) \] Kết quả của phép trừ này sẽ là: \[ 4M = 1 + \left(\frac{2}{5} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{3}{5^2} - \frac{2}{5^2}\right) + \left(\frac{4}{5^3} - \frac{3}{5^3}\right) + ... + \left(\frac{100}{5^{99}} - \frac{99}{5^{99}}\right) - \frac{100}{5^{100}} \] Rút gọn các số hạng giống nhau: \[ 4M = 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{5^3} + ... + \frac{1}{5^{99}} - \frac{100}{5^{100}} \] Dãy số trên là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu tiên là 1 và công bội là \(\frac{1}{5}\): \[ 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{5^3} + ... + \frac{1}{5^{99}} \] Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là: \[ S = \frac{a}{1-r} \] với \( a = 1 \) và \( r = \frac{1}{5} \): \[ S = \frac{1}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{1}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{4} \] Do đó: \[ 4M = \frac{5}{4} - \frac{100}{5^{100}} \] Vì \(\frac{100}{5^{100}}\) rất nhỏ, gần như bằng 0, nên: \[ 4M < \frac{5}{4} \] Chia cả hai vế cho 4: \[ M < \frac{5}{16} \] Vì \(\frac{5}{16} < \frac{1}{3}\), nên: \[ M < \frac{1}{3} \] Vậy, \( M < \frac{1}{3} \).