dung phuong phap chan kep nha

Giả sử $(2a+3b)^2+5(a+b)+1$ là một số chính phương. Ta sẽ chứng minh rằng $a=b$. Ta có: $(2a+3b)^2+5(a+b)+1 = 4a^2+12ab+9b^2+5a+5b+1$ Nhóm các hạng tử lại ta được: $= 4a^2+12ab+9b^2+5a+5b+1$ $= 4a^2+12ab+9b^2+5a+5b+1$ $= 4a^2+12ab+9b^2+5a+5b+1$ Ta thấy rằng $4a^2+12ab+9b^2$ là một số chính phương vì nó có dạng $(2a+3b)^2$. Do đó, để $(2a+3b)^2+5(a+b)+1$ là một số chính phương thì $5(a+b)+1$ cũng phải là một số chính phương. Xét các trường hợp: - Nếu $a > b$ thì $5(a+b)+1$ là một số lẻ và lớn hơn 1, do đó nó không thể là một số chính phương. - Nếu $a < b$ thì $5(a+b)+1$ là một số lẻ và lớn hơn 1, do đó nó không thể là một số chính phương. - Nếu $a = b$ thì $5(a+b)+1 = 5(2a)+1 = 10a+1$. Ta có $10a+1$ là một số chính phương nếu và chỉ nếu $a = 1$. Vậy $a = b = 1$ là nghiệm duy nhất của bài toán. Ngược lại, nếu $a = b$ thì: $(2a+3b)^2+5(a+b)+1 = (2a+3a)^2+5(2a)+1 = (5a)^2+10a+1 = 25a^2+10a+1 = (5a+1)^2$ Do đó, $(2a+3b)^2+5(a+b)+1$ là một số chính phương. Vậy $(2a+3b)^2+5(a+b)+1$ là một số chính phương và chỉ khi $a=b$.