Làm giúp em với ạ

Câu 6: Để tìm số lượng sản phẩm \( x \) mà công ty nên sản xuất để chi phí trung bình \( C(x) = \frac{C(x)}{x} \) cho mỗi đơn vị hàng hóa là nhỏ nhất, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định hàm chi phí trung bình: Chi phí trung bình \( C_{\text{trung bình}}(x) \) được cho bởi: \[ C_{\text{trung bình}}(x) = \frac{C(x)}{x} \] Với \( C(x) = 800 + 0,04x + 0,0002x^2 \), ta có: \[ C_{\text{trung bình}}(x) = \frac{800 + 0,04x + 0,0002x^2}{x} \] 2. Rút gọn hàm chi phí trung bình: \[ C_{\text{trung bình}}(x) = \frac{800}{x} + 0,04 + 0,0002x \] 3. Tìm đạo hàm của hàm chi phí trung bình: Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( C_{\text{trung bình}}(x) \), ta cần tìm đạo hàm của nó và đặt bằng 0: \[ C'_{\text{trung bình}}(x) = -\frac{800}{x^2} + 0,0002 \] 4. Giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ -\frac{800}{x^2} + 0,0002 = 0 \] \[ \frac{800}{x^2} = 0,0002 \] \[ x^2 = \frac{800}{0,0002} \] \[ x^2 = 4.000.000 \] \[ x = \sqrt{4.000.000} \] \[ x = 2000 \] 5. Kiểm tra dấu của đạo hàm để xác định giá trị nhỏ nhất: Ta kiểm tra dấu của \( C'_{\text{trung bình}}(x) \) trước và sau \( x = 2000 \): - Khi \( x < 2000 \), \( C'_{\text{trung bình}}(x) < 0 \) - Khi \( x > 2000 \), \( C'_{\text{trung bình}}(x) > 0 \) Điều này cho thấy \( C_{\text{trung bình}}(x) \) đạt giá trị nhỏ nhất tại \( x = 2000 \). Vậy, công ty nên sản xuất 2000 đơn vị sản phẩm để chi phí trung bình cho mỗi đơn vị hàng hóa là nhỏ nhất. Câu 7: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của \( x \) để thể tích của hình hộp không nắp là lớn nhất. Bước 1: Xác định kích thước của hình hộp - Khi cắt bỏ bốn hình vuông nhỏ có cạnh \( x \) ở bốn góc, kích thước của đáy hình hộp sẽ là \( (12 - 2x) \times (12 - 2x) \). - Chiều cao của hình hộp là \( x \). Bước 2: Biểu thức thể tích của hình hộp Thể tích \( V \) của hình hộp được tính bằng: \[ V = (12 - 2x)^2 \times x \] Bước 3: Tìm điều kiện xác định Để hình hộp có thể tồn tại, các kích thước phải dương: - \( 12 - 2x > 0 \) dẫn đến \( x < 6 \) - \( x > 0 \) Vậy, điều kiện xác định là \( 0 < x < 6 \). Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất của thể tích Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số: \[ V(x) = (12 - 2x)^2 \times x \] Tính đạo hàm của \( V(x) \): \[ V'(x) = \frac{d}{dx}[(12 - 2x)^2 \times x] \] Sử dụng quy tắc đạo hàm tích: \[ V'(x) = 2(12 - 2x)(-2)x + (12 - 2x)^2 \] \[ = -4x(12 - 2x) + (12 - 2x)^2 \] \[ = (12 - 2x)(-4x + 12 - 2x) \] \[ = (12 - 2x)(12 - 6x) \] Đặt \( V'(x) = 0 \): \[ (12 - 2x)(12 - 6x) = 0 \] Giải phương trình: - \( 12 - 2x = 0 \) dẫn đến \( x = 6 \) (loại vì không thỏa mãn điều kiện \( x < 6 \)) - \( 12 - 6x = 0 \) dẫn đến \( x = 2 \) Bước 5: Kiểm tra giá trị lớn nhất Xét dấu của \( V'(x) \) trên khoảng \( (0, 6) \): - Chọn \( x = 1 \), \( V'(1) = (12 - 2 \times 1)(12 - 6 \times 1) = 10 \times 6 > 0 \) - Chọn \( x = 3 \), \( V'(3) = (12 - 2 \times 3)(12 - 6 \times 3) = 6 \times (-6) < 0 \) Vậy \( V(x) \) đạt cực đại tại \( x = 2 \). Kết luận Giá trị lớn nhất của thể tích hình hộp là khi \( x = 2 \). Thể tích lớn nhất là: \[ V(2) = (12 - 2 \times 2)^2 \times 2 = 8^2 \times 2 = 128 \, \text{cm}^3 \] Vậy, giá trị lớn nhất của thể tích là \( 128 \, \text{cm}^3 \), đạt được khi \( x = 2 \). Câu 8: Để giải bài toán này, ta cần tìm độ dài cạnh đáy của hộp hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông sao cho thể tích là vô hạn và diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất. Tuy nhiên, có một vấn đề trong bài toán này: thể tích không thể là vô hạn trong thực tế. Do đó, tôi sẽ giả định rằng thể tích là một giá trị hữu hạn nào đó, chẳng hạn là \( V \). Giả sử cạnh đáy của hình hộp chữ nhật là \( x \) (đơn vị: decimét) và chiều cao là \( h \) (đơn vị: decimét). Vì đáy là hình vuông nên diện tích đáy là \( x^2 \). Thể tích của hình hộp chữ nhật là: \[ V = x^2 \cdot h \] Từ đó, ta có: \[ h = \frac{V}{x^2} \] Diện tích toàn phần \( S \) của hình hộp chữ nhật là tổng diện tích của hai đáy và bốn mặt bên: \[ S = 2x^2 + 4xh \] Thay \( h = \frac{V}{x^2} \) vào biểu thức diện tích toàn phần: \[ S = 2x^2 + 4x \cdot \frac{V}{x^2} = 2x^2 + \frac{4V}{x} \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( S \), ta cần tìm đạo hàm của \( S \) theo \( x \) và giải phương trình \( S'(x) = 0 \). Tính đạo hàm: \[ S'(x) = 4x - \frac{4V}{x^2} \] Giải phương trình \( S'(x) = 0 \): \[ 4x - \frac{4V}{x^2} = 0 \] \[ 4x = \frac{4V}{x^2} \] \[ x^3 = V \] \[ x = \sqrt[3]{V} \] Vậy, độ dài cạnh đáy của hộp để diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất là \( x = \sqrt[3]{V} \) decimét. Kết luận: Độ dài cạnh đáy của mỗi hộp muốn thiết kế là \( \sqrt[3]{V} \) decimét, với \( V \) là thể tích hữu hạn của hộp. Câu 9: Để tìm diện tích lớn nhất của hình thang cân có đáy nhỏ và hai cạnh bên bằng nhau, ta thực hiện các bước sau: Giả sử hình thang cân \(ABCD\) có đáy nhỏ \(AB = x\), hai cạnh bên \(AD = BC = 5\), và đáy lớn \(CD = y\). 1. Điều kiện xác định: - Vì \(AB\) là đáy nhỏ nên \(x < y\). - Do hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau nên hình thang có trục đối xứng qua trung điểm của hai đáy. 2. Tính chiều cao của hình thang: - Gọi \(h\) là chiều cao của hình thang. Do hình thang cân, ta có: \[ h = \sqrt{5^2 - \left(\frac{y-x}{2}\right)^2} \] - Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông tạo bởi chiều cao và đoạn thẳng nối trung điểm của hai đáy với một đỉnh của đáy lớn. 3. Diện tích của hình thang: - Diện tích \(S\) của hình thang được tính bằng: \[ S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} = \frac{(x + y) \cdot \sqrt{25 - \left(\frac{y-x}{2}\right)^2}}{2} \] 4. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích: - Để tối ưu hóa diện tích, ta cần tìm giá trị của \(x\) và \(y\) sao cho \(S\) đạt giá trị lớn nhất. - Đặt \(z = \frac{y-x}{2}\), ta có \(0 < z < 5\). - Khi đó, \(h = \sqrt{25 - z^2}\) và \(y = x + 2z\). - Diện tích \(S\) trở thành: \[ S = \frac{(x + x + 2z) \cdot \sqrt{25 - z^2}}{2} = (x + z) \cdot \sqrt{25 - z^2} \] - Để \(S\) lớn nhất, ta cần tối ưu hóa biểu thức \((x + z) \cdot \sqrt{25 - z^2}\). 5. Tối ưu hóa: - Đặt \(u = x + z\), khi đó \(u = \frac{y + x}{2}\). - Ta cần tối ưu hóa \(u \cdot \sqrt{25 - z^2}\) với \(z = \frac{y-x}{2}\). - Sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất của \(S\). 6. Kết quả: - Sau khi tính toán, ta tìm được giá trị lớn nhất của diện tích \(S\) khi \(x = 0\) và \(y = 10\), tức là hình thang trở thành tam giác cân với đáy lớn là 10 và hai cạnh bên là 5. - Diện tích lớn nhất của hình thang cân là: \[ S = \frac{10 \cdot 5}{2} = 25 \] Vậy, diện tích lớn nhất của hình thang cân là 25.0 (làm tròn đến hàng phần mười). Câu 10: Để tìm giá trị của \( r \) sao cho thể tích của hình trụ là lớn nhất, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định mối quan hệ giữa \( r \) và \( h \): Hình trụ nội tiếp hình nón có bán kính đáy 9 cm và chiều cao 18 cm. Do đó, ta có thể sử dụng tam giác đồng dạng để tìm mối quan hệ giữa \( r \) và \( h \). Xét tam giác vuông tạo bởi chiều cao của hình nón và bán kính đáy của hình nón, ta có: \[ \frac{r}{9} = \frac{18 - h}{18} \] Suy ra: \[ r = \frac{9(18 - h)}{18} = 9 - \frac{9h}{18} = 9 - \frac{h}{2} \] 2. Biểu thức thể tích của hình trụ: Thể tích \( V \) của hình trụ được tính bằng công thức: \[ V = \pi r^2 h \] Thay \( r = 9 - \frac{h}{2} \) vào, ta có: \[ V = \pi \left(9 - \frac{h}{2}\right)^2 h \] \[ V = \pi \left(81 - 9h + \frac{h^2}{4}\right) h \] \[ V = \pi \left(\frac{h^3}{4} - 9h^2 + 81h\right) \] 3. Tìm giá trị lớn nhất của \( V \): Để tìm giá trị lớn nhất của \( V \), ta tính đạo hàm của \( V \) theo \( h \) và giải phương trình \( V'(h) = 0 \). \[ V'(h) = \pi \left(\frac{3h^2}{4} - 18h + 81\right) \] Giải phương trình: \[ \frac{3h^2}{4} - 18h + 81 = 0 \] Nhân cả hai vế với 4 để đơn giản hóa: \[ 3h^2 - 72h + 324 = 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ h^2 - 24h + 108 = 0 \] Tính nghiệm của phương trình bậc hai: \[ \Delta = 24^2 - 4 \times 1 \times 108 = 576 - 432 = 144 \] \[ h = \frac{24 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{24 \pm 12}{2} \] \[ h_1 = 18, \quad h_2 = 6 \] Thay vào \( r = 9 - \frac{h}{2} \): - Với \( h = 18 \), \( r = 9 - \frac{18}{2} = 0 \) (không hợp lý). - Với \( h = 6 \), \( r = 9 - \frac{6}{2} = 6 \). 4. Kết luận: Giá trị của \( r \) để thể tích của hình trụ là lớn nhất là 6 cm. Câu 11: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) cho các biến \(x\) và \(y\). 2. Giải phương trình \(x + y + 1 = 2(\sqrt{x-2} + \sqrt{y+3})\). 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(M = 3^{m+4} + (x+y+1)2^{2+2} - 3(x^2 + y^2)\). Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Điều kiện cho \(x\): \(x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2\) - Điều kiện cho \(y\): \(y + 3 \geq 0 \Rightarrow y \geq -3\) Bước 2: Giải phương trình \(x + y + 1 = 2(\sqrt{x-2} + \sqrt{y+3})\) Đặt \(a = \sqrt{x-2}\) và \(b = \sqrt{y+3}\). Khi đó: \[ x = a^2 + 2 \] \[ y = b^2 - 3 \] Thay vào phương trình ban đầu: \[ (a^2 + 2) + (b^2 - 3) + 1 = 2(a + b) \] \[ a^2 + b^2 = 2(a + b) \] \[ a^2 + b^2 - 2a - 2b = 0 \] \[ (a-1)^2 + (b-1)^2 - 2 = 0 \] \[ (a-1)^2 + (b-1)^2 = 2 \] Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(M = 3^{m+4} + (x+y+1)2^{2+2} - 3(x^2 + y^2)\) Thay \(x = a^2 + 2\) và \(y = b^2 - 3\) vào biểu thức \(M\): \[ M = 3^{m+4} + ((a^2 + 2) + (b^2 - 3) + 1)2^4 - 3((a^2 + 2)^2 + (b^2 - 3)^2) \] \[ M = 3^{m+4} + (a^2 + b^2)16 - 3(a^4 + 4a^2 + 4 + b^4 - 6b^2 + 9) \] \[ M = 3^{m+4} + 16(a^2 + b^2) - 3(a^4 + b^4 + 4a^2 - 6b^2 + 13) \] Sử dụng \(a^2 + b^2 = 2(a + b)\): \[ M = 3^{m+4} + 16(2(a + b)) - 3(a^4 + b^4 + 4a^2 - 6b^2 + 13) \] \[ M = 3^{m+4} + 32(a + b) - 3(a^4 + b^4 + 4a^2 - 6b^2 + 13) \] Để tìm giá trị lớn nhất của \(M\), chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của \(a\) và \(b\) thỏa mãn \((a-1)^2 + (b-1)^2 = 2\). Giá trị lớn nhất của \(a\) và \(b\) là \(a = 2\) và \(b = 2\): \[ x = 2^2 + 2 = 6 \] \[ y = 2^2 - 3 = 1 \] Thay \(x = 6\) và \(y = 1\) vào biểu thức \(M\): \[ M = 3^{m+4} + (6 + 1 + 1)16 - 3(6^2 + 1^2) \] \[ M = 3^{m+4} + 8 \cdot 16 - 3(36 + 1) \] \[ M = 3^{m+4} + 128 - 3 \cdot 37 \] \[ M = 3^{m+4} + 128 - 111 \] \[ M = 3^{m+4} + 17 \] Giá trị lớn nhất của \(M\) là: \[ M = 3^{m+4} + 17 \] Phân số tối giản của \(M\) là \(\frac{a}{b}\), khi đó \(a + b = 3^{m+4} + 17 + 1 = 3^{m+4} + 18\). Đáp số: \(a + b = 3^{m+4} + 18\) Câu 12: Để giải bài toán này, ta cần tìm diện tích toàn phần nhỏ nhất của một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có đáy hình vuông và thể tích là \( V = 10 \). Gọi \( x \) là độ dài cạnh của đáy hình vuông và \( h \) là chiều cao của hộp. Khi đó, thể tích của hộp được cho bởi công thức: \[ V = x^2 \cdot h = 10 \] Từ đó, ta có: \[ h = \frac{10}{x^2} \] Diện tích toàn phần \( S \) của hộp bao gồm diện tích của đáy, nắp và bốn mặt bên. Do đáy và nắp đều là hình vuông có cạnh \( x \), diện tích của đáy và nắp là \( 2x^2 \). Diện tích của bốn mặt bên là \( 4x \cdot h \). Vậy diện tích toàn phần là: \[ S = 2x^2 + 4x \cdot h = 2x^2 + 4x \cdot \frac{10}{x^2} = 2x^2 + \frac{40}{x} \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( S \), ta cần tìm đạo hàm của \( S \) theo \( x \) và giải phương trình \( S'(x) = 0 \). Tính đạo hàm: \[ S'(x) = \frac{d}{dx}\left(2x^2 + \frac{40}{x}\right) = 4x - \frac{40}{x^2} \] Giải phương trình \( S'(x) = 0 \): \[ 4x - \frac{40}{x^2} = 0 \] \[ 4x^3 = 40 \] \[ x^3 = 10 \] \[ x = \sqrt[3]{10} \] Với \( x = \sqrt[3]{10} \), ta tính \( h \): \[ h = \frac{10}{(\sqrt[3]{10})^2} = \frac{10}{\sqrt[3]{100}} \] Thay \( x = \sqrt[3]{10} \) vào biểu thức \( S \): \[ S = 2(\sqrt[3]{10})^2 + \frac{40}{\sqrt[3]{10}} \] \[ S = 2\sqrt[3]{100} + 4\sqrt[3]{10} \] Tính giá trị gần đúng: \[ \sqrt[3]{10} \approx 2.154 \] \[ \sqrt[3]{100} \approx 4.641 \] \[ S \approx 2 \times 4.641 + 4 \times 2.154 \] \[ S \approx 9.282 + 8.616 \] \[ S \approx 17.898 \] Vậy diện tích toàn phần nhỏ nhất của hộp là khoảng \( 17.9 \) (làm tròn đến hàng phần mười). Câu 13: Để tìm thời điểm tại đó số lượng ong của đàn tăng nhanh nhất, chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm số \( P(t) \) và sau đó tìm giá trị của \( t \) sao cho đạo hàm này đạt giá trị lớn nhất. Bước 1: Tìm đạo hàm của \( P(t) \). Công thức của \( P(t) \) là: \[ P(t) = \frac{20000}{1 + 10000t} \] Đạo hàm \( P(t) \) theo \( t \): \[ P'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{20000}{1 + 10000t} \right) \] Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức: \[ P'(t) = \frac{(1 + 10000t) \cdot \frac{d}{dt}(20000) - 20000 \cdot \frac{d}{dt}(1 + 10000t)}{(1 + 10000t)^2} \] \[ P'(t) = \frac{(1 + 10000t) \cdot 0 - 20000 \cdot 10000}{(1 + 10000t)^2} \] \[ P'(t) = \frac{-200000000}{(1 + 10000t)^2} \] Bước 2: Tìm giá trị của \( t \) sao cho \( P'(t) \) đạt giá trị lớn nhất. Do \( P'(t) \) là một hàm số âm và giảm dần theo \( t \), nên giá trị lớn nhất của \( P'(t) \) sẽ xảy ra khi \( t \) nhỏ nhất, tức là \( t = 0 \). Tuy nhiên, để kiểm tra xem liệu có sự thay đổi nào khác trong khoảng \( 0 \leq t \leq 20 \), chúng ta cần kiểm tra giá trị của \( P'(t) \) tại các điểm biên của khoảng này. - Tại \( t = 0 \): \[ P'(0) = \frac{-200000000}{(1 + 10000 \cdot 0)^2} = \frac{-200000000}{1} = -200000000 \] - Tại \( t = 20 \): \[ P'(20) = \frac{-200000000}{(1 + 10000 \cdot 20)^2} = \frac{-200000000}{(1 + 200000)^2} = \frac{-200000000}{200001^2} \approx -0.0000004999975 \] Như vậy, giá trị lớn nhất của \( P'(t) \) trong khoảng \( 0 \leq t \leq 20 \) là tại \( t = 0 \). Kết luận: Số lượng ong của đàn tăng nhanh nhất tại thời điểm \( t = 0 \) (tuần). Câu 14: Để giải quyết bài toán này, ta cần tìm vị trí M trên bờ biển sao cho tổng thời gian di chuyển từ A đến M và từ M đến C là ngắn nhất. Bước 1: Thiết lập bài toán Gọi \( x \) là khoảng cách từ B đến M (tính theo km). Khi đó, khoảng cách từ A đến M theo định lý Pythagore là: \[ AM = \sqrt{AB^2 + BM^2} = \sqrt{4^2 + x^2} = \sqrt{16 + x^2} \] Khoảng cách từ M đến C là: \[ MC = BC - BM = 7 - x \] Bước 2: Biểu thức thời gian Thời gian chèo thuyền từ A đến M là: \[ t_1 = \frac{\sqrt{16 + x^2}}{6} \] Thời gian đi xe đạp từ M đến C là: \[ t_2 = \frac{7 - x}{10} \] Tổng thời gian di chuyển là: \[ T(x) = t_1 + t_2 = \frac{\sqrt{16 + x^2}}{6} + \frac{7 - x}{10} \] Bước 3: Tìm giá trị \( x \) để \( T(x) \) nhỏ nhất Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( T(x) \), ta cần tính đạo hàm của \( T(x) \) và tìm nghiệm của phương trình \( T'(x) = 0 \). Tính đạo hàm: \[ T'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\sqrt{16 + x^2}}{6} \right) + \frac{d}{dx} \left( \frac{7 - x}{10} \right) \] \[ = \frac{x}{6\sqrt{16 + x^2}} - \frac{1}{10} \] Đặt \( T'(x) = 0 \): \[ \frac{x}{6\sqrt{16 + x^2}} = \frac{1}{10} \] Giải phương trình: \[ 10x = 6\sqrt{16 + x^2} \] Bình phương hai vế: \[ 100x^2 = 36(16 + x^2) \] \[ 100x^2 = 576 + 36x^2 \] \[ 64x^2 = 576 \] \[ x^2 = 9 \] \[ x = 3 \quad (\text{vì } x \geq 0) \] Bước 4: Kết luận Người canh hải đăng nên chèo thuyền đến vị trí M cách B 3 km để tổng thời gian di chuyển là ngắn nhất.