Giải đúng sai

Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ phân tích đạo hàm của hàm số \( f(x) \) để xác định các điểm cực trị và tính chất đồng biến nghịch biến của hàm số. Đạo hàm của hàm số \( f(x) \) là: \[ f'(x) = x(1-x)^2(3-x)^3(x-2)^4 \] Bước 1: Tìm các điểm dừng Các điểm dừng của hàm số là các giá trị của \( x \) làm cho \( f'(x) = 0 \). \[ f'(x) = x(1-x)^2(3-x)^3(x-2)^4 = 0 \] Từ đây, ta thấy \( f'(x) = 0 \) khi: \[ x = 0 \] \[ 1 - x = 0 \Rightarrow x = 1 \] \[ 3 - x = 0 \Rightarrow x = 3 \] \[ x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \] Vậy các điểm dừng của hàm số là \( x = 0, 1, 2, 3 \). Bước 2: Xác định dấu của \( f'(x) \) trong các khoảng Chúng ta sẽ xét dấu của \( f'(x) \) trong các khoảng \( (-\infty, 0) \), \( (0, 1) \), \( (1, 2) \), \( (2, 3) \), và \( (3, +\infty) \). Khoảng \( (-\infty, 0) \): Trong khoảng này, \( x < 0 \), do đó \( x \) âm, \( (1-x)^2 \) dương, \( (3-x)^3 \) dương, \( (x-2)^4 \) dương. Vậy \( f'(x) \) âm. Khoảng \( (0, 1) \): Trong khoảng này, \( 0 < x < 1 \), do đó \( x \) dương, \( (1-x)^2 \) dương, \( (3-x)^3 \) dương, \( (x-2)^4 \) dương. Vậy \( f'(x) \) dương. Khoảng \( (1, 2) \): Trong khoảng này, \( 1 < x < 2 \), do đó \( x \) dương, \( (1-x)^2 \) dương, \( (3-x)^3 \) dương, \( (x-2)^4 \) dương. Vậy \( f'(x) \) dương. Khoảng \( (2, 3) \): Trong khoảng này, \( 2 < x < 3 \), do đó \( x \) dương, \( (1-x)^2 \) dương, \( (3-x)^3 \) âm, \( (x-2)^4 \) dương. Vậy \( f'(x) \) âm. Khoảng \( (3, +\infty) \): Trong khoảng này, \( x > 3 \), do đó \( x \) dương, \( (1-x)^2 \) dương, \( (3-x)^3 \) âm, \( (x-2)^4 \) dương. Vậy \( f'(x) \) âm. Bước 3: Xác định các điểm cực trị Dựa vào dấu của \( f'(x) \) trong các khoảng, ta có: - Tại \( x = 0 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương, nên \( f(x) \) đạt cực tiểu tại \( x = 0 \). - Tại \( x = 1 \): \( f'(x) \) không đổi dấu, nên \( f(x) \) không có cực trị tại \( x = 1 \). - Tại \( x = 2 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm, nên \( f(x) \) đạt cực đại tại \( x = 2 \). - Tại \( x = 3 \): \( f'(x) \) không đổi dấu, nên \( f(x) \) không có cực trị tại \( x = 3 \). Bước 4: Xác định tính chất đồng biến và nghịch biến - Hàm số \( f(x) \) đồng biến trên khoảng \( (0, 2) \). - Hàm số \( f(x) \) nghịch biến trên khoảng \( (2, 3) \) và \( (3, +\infty) \). Kết luận a) Hàm số \( f(x) \) đạt cực tiểu tại \( x = 0 \) b) Hàm số \( f(x) \) đạt cực đại tại \( x = 2 \) c) Hàm số \( f(x) \) nghịch biến trên khoảng \( (3; +\infty) \) d) Hàm số có hai điểm cực trị Đáp án: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng