giải giúp với

Câu 15: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm khoảng $(a; b)$ sao cho hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng đó và $b - a$ lớn nhất. Điều này có nghĩa là đạo hàm $f'(x)$ phải âm trên khoảng $(a; b)$. Bước 1: Tìm các điểm tới hạn của $f'(x)$ Ta có: \[ f'(x) = (x^2 - 4)(x^2 - 2x) \] Đặt $f'(x) = 0$ để tìm các điểm tới hạn: \[ (x^2 - 4)(x^2 - 2x) = 0 \] Giải phương trình này: \[ x^2 - 4 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 - 2x = 0 \] \[ x^2 = 4 \quad \text{hoặc} \quad x(x - 2) = 0 \] \[ x = \pm 2 \quad \text{hoặc} \quad x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] Vậy các điểm tới hạn là $x = -2$, $x = 0$, và $x = 2$. Bước 2: Xác định dấu của $f'(x)$ trên các khoảng Chúng ta sẽ kiểm tra dấu của $f'(x)$ trên các khoảng $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$, $(0, 2)$, và $(2, \infty)$. - Trên khoảng $(-\infty, -2)$: Chọn $x = -3$: \[ f'(-3) = ((-3)^2 - 4)((-3)^2 - 2(-3)) = (9 - 4)(9 + 6) = 5 \cdot 15 = 75 > 0 \] - Trên khoảng $(-2, 0)$: Chọn $x = -1$: \[ f'(-1) = ((-1)^2 - 4)((-1)^2 - 2(-1)) = (1 - 4)(1 + 2) = (-3) \cdot 3 = -9 < 0 \] - Trên khoảng $(0, 2)$: Chọn $x = 1$: \[ f'(1) = (1^2 - 4)(1^2 - 2(1)) = (1 - 4)(1 - 2) = (-3) \cdot (-1) = 3 > 0 \] - Trên khoảng $(2, \infty)$: Chọn $x = 3$: \[ f'(3) = (3^2 - 4)(3^2 - 2(3)) = (9 - 4)(9 - 6) = 5 \cdot 3 = 15 > 0 \] Bước 3: Xác định khoảng $(a; b)$ sao cho $f'(x) < 0$ Từ các kết quả trên, ta thấy rằng $f'(x) < 0$ trên khoảng $(-2, 0)$. Do đó, hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-2, 0)$ và $b - a$ lớn nhất khi $a = -2$ và $b = 0$. Vậy $a + b = -2 + 0 = -2$. Đáp số: $a + b = -2$. Câu 16: Để tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = f(x) = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) Hàm số xác định khi mẫu số khác 0, tức là: \[ x - 1 \neq 0 \] Do đó, \( x \neq 1 \). Bước 2: Tìm đường tiệm cận xiên Đường tiệm cận xiên có dạng \( y = mx + n \). Để tìm \( m \) và \( n \), ta thực hiện phép chia đa thức: Chia tử số \( x^2 - 2x + 2 \) cho mẫu số \( x - 1 \): 1. Lấy \( x^2 \) chia cho \( x \), được \( x \). 2. Nhân \( x \) với \( x - 1 \), được \( x^2 - x \). 3. Lấy \( x^2 - 2x + 2 \) trừ đi \( x^2 - x \), được \( -x + 2 \). 4. Lấy \( -x \) chia cho \( x \), được \(-1\). 5. Nhân \(-1\) với \( x - 1 \), được \(-x + 1\). 6. Lấy \(-x + 2\) trừ đi \(-x + 1\), được \(1\). Kết quả của phép chia là: \[ \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} = x - 1 + \frac{1}{x - 1} \] Khi \( x \to \infty \), \(\frac{1}{x - 1} \to 0\). Do đó, đường tiệm cận xiên là: \[ y = x - 1 \] Bước 3: Xác định \( m \) và \( n \) Từ phương trình đường tiệm cận xiên \( y = x - 1 \), ta có: - \( m = 1 \) - \( n = -1 \) Bước 4: Tính \( m + n \) \[ m + n = 1 + (-1) = 0 \] Vậy, giá trị của \( m + n \) là \( 0 \). Câu 17: Để giải bài toán này, ta cần phân tích đồ thị của hàm số \( y = \frac{x+a}{bx+c} \). Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Hàm số xác định khi mẫu số khác 0, tức là: \[ bx + c \neq 0 \] Do đó, \( x \neq -\frac{c}{b} \). Bước 2: Xác định tiệm cận đứng Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0, tức là: \[ x = -\frac{c}{b} \] Quan sát đồ thị, ta thấy có tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). Do đó: \[ -\frac{c}{b} = 1 \] \[ c = -b \] Bước 3: Xác định tiệm cận ngang Tiệm cận ngang của hàm số là: \[ y = \frac{1}{b} \] Quan sát đồ thị, ta thấy có tiệm cận ngang tại \( y = 2 \). Do đó: \[ \frac{1}{b} = 2 \] \[ b = \frac{1}{2} \] Bước 4: Tìm \( c \) Từ \( c = -b \) và \( b = \frac{1}{2} \), ta có: \[ c = -\frac{1}{2} \] Bước 5: Tìm \( a \) Đồ thị cắt trục tung tại điểm \( (0, -1) \). Thay vào hàm số: \[ y = \frac{0 + a}{b \cdot 0 + c} = -1 \] \[ \frac{a}{-\frac{1}{2}} = -1 \] \[ a = \frac{1}{2} \] Bước 6: Tính \( a - 3b - 2c \) Thay các giá trị đã tìm được vào biểu thức: \[ a - 3b - 2c = \frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 1 \] \[ = -1 + 1 \] \[ = 0 \] Vậy, \( a - 3b - 2c = 0 \). Câu 18: Giả sử giám đốc tăng giá phòng lên m lần 20 nghìn đồng, khi đó doanh thu của khách sạn là: \[ (400 + 20m)(50 - 2m) = -40m^2 + 200m + 20\,000 \] Xét hàm số \( f(m) = -40m^2 + 200m + 20\,000 \). Tìm giá trị lớn nhất của hàm số này: \[ f'(m) = -80m + 200 \] \[ f'(m) = 0 \implies -80m + 200 = 0 \implies m = 2.5 \] Thay \( m = 2.5 \) vào hàm số: \[ f(2.5) = -40(2.5)^2 + 200(2.5) + 20\,000 = -40(6.25) + 500 + 20\,000 = -250 + 500 + 20\,000 = 20\,250 \] Do đó, giá phòng mới để thu nhập lớn nhất là: \[ 400 + 20 \times 2.5 = 400 + 50 = 450 \text{ nghìn đồng} \] Vậy, giám đốc phải chọn giá phòng mới là 450 nghìn đồng để thu nhập của khách sạn trong ngày là lớn nhất.