Giải chi tiết

Để hàm số \( y = (x - m)^3 - 3(x - m) + 2 \) đồng biến trên khoảng \((2, 3)\), ta cần đảm bảo rằng đạo hàm của nó \( y' \geq 0 \) trên khoảng này. Bước 1: Tính đạo hàm của \( y \): \[ y = (x - m)^3 - 3(x - m) + 2 \] \[ y' = 3(x - m)^2 - 3 \] Bước 2: Đặt \( y' \geq 0 \) trên khoảng \((2, 3)\): \[ 3(x - m)^2 - 3 \geq 0 \] \[ 3[(x - m)^2 - 1] \geq 0 \] \[ (x - m)^2 - 1 \geq 0 \] \[ (x - m)^2 \geq 1 \] Bước 3: Giải bất phương trình trên: \[ (x - m)^2 \geq 1 \] \[ |x - m| \geq 1 \] \[ x - m \geq 1 \quad \text{hoặc} \quad x - m \leq -1 \] \[ x \geq m + 1 \quad \text{hoặc} \quad x \leq m - 1 \] Bước 4: Để hàm số đồng biến trên khoảng \((2, 3)\), ta cần: \[ 2 \geq m + 1 \quad \text{hoặc} \quad 3 \leq m - 1 \] \[ 2 \geq m + 1 \Rightarrow m \leq 1 \] \[ 3 \leq m - 1 \Rightarrow m \geq 4 \] Tuy nhiên, vì \( m \) thuộc đoạn \([-5, 0]\), nên chỉ cần xét điều kiện \( m \leq 1 \). Bước 5: Kiểm tra các giá trị nguyên của \( m \) trong đoạn \([-5, 0]\): \[ m = -5, -4, -3, -2, -1, 0 \] Các giá trị này đều thỏa mãn điều kiện \( m \leq 1 \). Vậy có năm giá trị nguyên của tham số \( m \) thuộc \([-5, 0]\) để hàm số \( y = (x - m)^3 - 3(x - m) + 2 \) đồng biến trên khoảng \((2, 3)\). Các giá trị đó là: \[ m = -5, -4, -3, -2, -1 \] Câu 14: a) Đúng. Vì \( g(x) = 3x + 1 \) là hàm số tuyến tính tăng trên toàn bộ miền xác định. Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( g(x) \) trên đoạn \([-2; 1]\) sẽ đạt được tại \( x = -2 \): \[ g(-2) = 3(-2) + 1 = -6 + 1 = -5. \] Tuy nhiên, đề bài yêu cầu giá trị nhỏ nhất là 1, do đó câu này sai. b) Đúng. Ta cần kiểm tra giá trị của \( f(x) \) tại các điểm đầu và cuối đoạn \([0; 2]\) và tại các điểm cực trị trong khoảng \((0; 2)\). Đạo hàm \( f(x) \): \[ f'(x) = 3x^2 - 3. \] Giải \( f'(x) = 0 \): \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = \pm 1. \] Trong khoảng \([0; 2]\), ta có \( x = 1 \). Kiểm tra giá trị của \( f(x) \) tại \( x = 0 \), \( x = 1 \), và \( x = 2 \): \[ f(0) = 0^3 - 3(0) + 4 = 4, \] \[ f(1) = 1^3 - 3(1) + 4 = 1 - 3 + 4 = 2, \] \[ f(2) = 2^3 - 3(2) + 4 = 8 - 6 + 4 = 6. \] Do đó, giá trị lớn nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([0; 2]\) là 6, đạt được tại \( x = 2 \). Vậy câu này sai. c) Sai. Ta cần tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \( h(x) = f(x) + g(x) = x^3 - 3x + 4 + 3x + 1 = x^3 + 5 \) trên đoạn \([-1; 1]\). Đạo hàm \( h(x) \): \[ h'(x) = 3x^2. \] Giải \( h'(x) = 0 \): \[ 3x^2 = 0 \] \[ x = 0. \] Kiểm tra giá trị của \( h(x) \) tại \( x = -1 \), \( x = 0 \), và \( x = 1 \): \[ h(-1) = (-1)^3 + 5 = -1 + 5 = 4, \] \[ h(0) = 0^3 + 5 = 5, \] \[ h(1) = 1^3 + 5 = 1 + 5 = 6. \] Do đó, giá trị lớn nhất của \( h(x) \) trên đoạn \([-1; 1]\) là 6, đạt được tại \( x = 1 \), và giá trị nhỏ nhất là 4, đạt được tại \( x = -1 \). Vậy câu này sai. d) Sai. Ta cần tìm giá trị của \( m \) sao cho \( \min_{[-2; n]} f(x) = 6 \). Đạo hàm \( f(x) \): \[ f'(x) = 3x^2 - 3. \] Giải \( f'(x) = 0 \): \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = \pm 1. \] Trong khoảng \([-2; n]\), ta có \( x = -1 \) và \( x = 1 \). Kiểm tra giá trị của \( f(x) \) tại \( x = -2 \), \( x = -1 \), và \( x = 1 \): \[ f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 4 = -8 + 6 + 4 = 2, \] \[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 4 = -1 + 3 + 4 = 6, \] \[ f(1) = 1^3 - 3(1) + 4 = 1 - 3 + 4 = 2. \] Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([-2; n]\) là 2, đạt được tại \( x = -2 \) hoặc \( x = 1 \). Vậy câu này sai. Đáp án đúng: a) Sai b) Sai c) Sai d) Sai Câu 15: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng phần một cách chi tiết. a) Với \( m = -1 \), đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang \( y = 1 \). Hàm số đã cho là: \[ y = \frac{(m+1)x^2 + (2m+1)x + 2}{x+1}. \] Thay \( m = -1 \) vào, ta có: \[ y = \frac{0 \cdot x^2 + (2(-1)+1)x + 2}{x+1} = \frac{-x + 2}{x+1}. \] Xét tiệm cận ngang: Khi \( x \to \pm \infty \), ta có: \[ y \approx \frac{-x}{x} = -1. \] Như vậy, với \( m = -1 \), đồ thị có tiệm cận ngang là \( y = -1 \), không phải \( y = 1 \). Do đó, mệnh đề a) là sai. b) Với \( m = 0 \), đồ thị hàm số có tiệm cận xiên \( y = x \). Thay \( m = 0 \) vào hàm số, ta có: \[ y = \frac{x^2 + x + 2}{x+1}. \] Chia đa thức tử cho mẫu: \[ y = x + \frac{1}{x+1}. \] Khi \( x \to \pm \infty \), \( \frac{1}{x+1} \to 0 \), do đó tiệm cận xiên là \( y = x \). Vậy mệnh đề b) là đúng. c) Với \( m \ne 2 \), đồ thị (C) có 2 đường tiệm cận và giao điểm của hai đường tiệm cận thuộc parabol \( (P): y = -x^2 \). Để đồ thị có 2 đường tiệm cận, cần có một tiệm cận ngang và một tiệm cận đứng. Tiệm cận đứng là \( x = -1 \). Xét tiệm cận ngang: Khi \( x \to \pm \infty \), hệ số của \( x^2 \) là \( m+1 \), do đó tiệm cận ngang là \( y = m+1 \). Giao điểm của hai đường tiệm cận là \( (-1, m+1) \). Thuộc parabol \( y = -x^2 \) khi: \[ m+1 = -(-1)^2 = -1 \] \[ m = -2. \] Vậy mệnh đề c) là đúng khi \( m = -2 \). d) Khi (C) có tiệm cận xiên, thì có 3 giá trị \( m \) để tiệm cận xiên tiếp xúc với đường tròn \( (\gamma): x^2 + y^2 = \frac{1}{5} \). Tiệm cận xiên có dạng \( y = ax + b \) với \( a = 1 \) và \( b = \frac{2m+1}{m+1} \). Để tiệm cận xiên tiếp xúc với đường tròn, khoảng cách từ tâm đường tròn (0,0) đến đường thẳng phải bằng bán kính: \[ \frac{|b|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}. \] Tức là: \[ |b| = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}. \] Giải phương trình: \[ \left|\frac{2m+1}{m+1}\right| = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}. \] Giải phương trình này sẽ cho 3 giá trị của \( m \). Vậy mệnh đề d) là đúng với 3 giá trị \( m \). Câu 16: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích từng phần một cách chi tiết. a) Xác định \(d\) Hàm số \(y = f(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{x + d}\) có tiệm cận đứng là \(x = -1\). Điều này có nghĩa là mẫu số phải bằng 0 khi \(x = -1\), tức là: \[ x + d = 0 \Rightarrow d = -1. \] Vậy, khẳng định a) là đúng. b) Xét \(g(x) < -2\) Đồ thị của \(g(x) = f'(x)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -5. Điều này có nghĩa là: \[ g(0) = -5. \] Để tìm \(f'(x)\), ta cần đạo hàm \(f(x)\): \[ f(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{x - 1}. \] Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức: \[ f'(x) = \frac{(2ax + b)(x - 1) - (ax^2 + bx + c)}{(x - 1)^2}. \] Để \(g(x) < -2\) với mọi \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}\), ta cần kiểm tra điều kiện này. Tuy nhiên, từ thông tin cho rằng \(g(0) = -5\), ta không thể kết luận \(g(x) < -2\) với mọi \(x\). Do đó, khẳng định b) là sai. c) Phương trình \(f(x) = 0\) có hai nghiệm phân biệt Phương trình \(f(x) = 0\) tương đương với: \[ ax^2 + bx + c = 0. \] Để phương trình này có hai nghiệm phân biệt, ta cần: \[ \Delta = b^2 - 4ac > 0. \] Khẳng định c) là đúng nếu \(\Delta > 0\). d) Tiệm cận xiên Nếu \(\max_{[0,0]} f(x) = 4\), điều này không có ý nghĩa vì khoảng \([0,0]\) chỉ có một điểm. Tuy nhiên, nếu ta giả sử \(\max_{[a,b]} f(x) = 4\) với một khoảng nào đó, ta cần kiểm tra điều kiện để có tiệm cận xiên. Tiệm cận xiên của hàm số \(y = f(x)\) có dạng \(y = mx + n\). Để có tiệm cận xiên, bậc tử phải lớn hơn bậc mẫu. Trong trường hợp này, bậc tử là 2 và bậc mẫu là 1, nên có tiệm cận xiên. Tuy nhiên, để xác định chính xác tiệm cận xiên là \(y = -2x + 1\), ta cần thêm thông tin về hệ số \(a, b, c\). Khẳng định d) không thể xác định chỉ với thông tin đã cho. Kết luận - a) Đúng. - b) Sai. - c) Đúng nếu \(\Delta > 0\). - d) Không thể xác định chỉ với thông tin đã cho.