Giúp mik vs ạ

Câu 2: Để xác định đúng hay sai của các mệnh đề, ta cần phân tích bảng biến thiên và đồ thị đã cho. Phân tích bảng biến thiên: 1. Điểm cực trị: - Hàm số có hai điểm cực trị tại \(x = -2\) và \(x = 0\). - Tại \(x = -2\), hàm số đạt cực đại với giá trị \(y = 0\). - Tại \(x = 0\), hàm số đạt cực tiểu với giá trị \(y = -2\). 2. Khoảng đồng biến và nghịch biến: - Hàm số đồng biến trên các khoảng \((- \infty, -2)\) và \((0, +\infty)\). - Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-2, 0)\). Xét các mệnh đề: a) Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị, giá trị cực đại bằng -2: - Sai. Giá trị cực đại là 0, không phải -2. b) Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm \(A(0;1)\): - Sai. Tại \(x = 0\), \(y = -2\), không phải 1. c) Hàm số đồng biến trên khoảng \((-1;1)\): - Sai. Trên khoảng \((-1;1)\), hàm số nghịch biến từ \((-1;0)\) và đồng biến từ \((0;1)\). d) Đồ thị hàm số đã cho là hình ảnh thứ hai: - Đúng. Đồ thị có hai điểm cực trị tại \(x = -2\) và \(x = 0\), với giá trị cực đại và cực tiểu tương ứng là 0 và -2, phù hợp với bảng biến thiên. Kết luận: - a) Sai - b) Sai - c) Sai - d) Đúng Câu 3: a) Ta có \( y' = 6x^2 - 18x = 6x(x - 3) \) \( y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \) hoặc \( x = 3 \) Bảng biến thiên: \[ \begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & 0 & 3 & +\infty \\ \hline y' & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline y & -\infty & 1 & -\infty & +\infty \\ \end{array} \] Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty; 0)\) và \((3; +\infty)\). Do đó, khẳng định a) sai. b) Ta có \( y(-2) = 2(-2)^3 - 9(-2)^2 - 1 = -28 \) \( y(3) = 2(3)^3 - 9(3)^2 - 1 = -28 \) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([-2; 3]\) là 1, đạt được tại \( x = 0 \). Do đó, khẳng định b) sai. c) Ta có \( y'' = 12x - 18 \) \( y'' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2} \) Do đó, tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm có hoành độ bằng \( \frac{3}{2} \). Khẳng định c) đúng. d) Ta có \( y'(0) = 0 \) và \( y''(0) < 0 \) Do đó, hàm số có giá trị cực đại bằng 1 tại \( x = 0 \). Khẳng định d) đúng. Vậy, các khẳng định đúng là c) và d). Câu 4: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích từng ý một cách chi tiết. Hàm số đã cho: \( y = \frac{-x-4}{x-1} \). a) Xác định đồ thị của hàm số Đồ thị của hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất là một hyperbol. Để xác định đồ thị, ta cần tìm các tiệm cận và điểm cắt trục. b) Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang 1. Tiệm cận đứng: - Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0. - Với hàm số \( y = \frac{-x-4}{x-1} \), mẫu số là \( x-1 \). - Do đó, tiệm cận đứng là \( x = 1 \). 2. Tiệm cận ngang: - Tiệm cận ngang được xác định bằng cách xét giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm\infty \). - \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{-x-4}{x-1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-1 - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = -1\). - Do đó, tiệm cận ngang là \( y = -1 \). c) Điểm cắt trục tung - Để tìm điểm cắt trục tung, ta cho \( x = 0 \). - \( y = \frac{-0-4}{0-1} = 4 \). - Vậy, đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4, tức là điểm \( (0, 4) \). d) Tính đồng biến, nghịch biến - Xét đạo hàm của hàm số: \( y = \frac{-x-4}{x-1} \). - Đạo hàm: \( y' = \frac{(-1)(x-1) - (-x-4)(1)}{(x-1)^2} = \frac{-x+1+x+4}{(x-1)^2} = \frac{5}{(x-1)^2} \). - Vì \( (x-1)^2 > 0 \) với mọi \( x \neq 1 \), nên \( y' > 0 \) với mọi \( x \neq 1 \). - Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, 1) \) và \( (1, +\infty) \). Kết luận - a) Đồ thị là một hyperbol. - b) Đúng, hàm số có tiệm cận đứng là \( x = 1 \) và tiệm cận ngang là \( y = -1 \). - c) Đúng, đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4. - d) Đúng, hàm số đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, 1) \) và \( (1, +\infty) \). Câu 1: Để giải bài toán này, ta cần tìm thể tích lớn nhất của hình hộp chữ nhật không nắp được tạo ra từ tấm bìa hình vuông có diện tích \(900 \, \text{cm}^2\). Bước 1: Tìm kích thước của tấm bìa Diện tích của tấm bìa hình vuông là \(900 \, \text{cm}^2\), do đó cạnh của hình vuông là: \[ a = \sqrt{900} = 30 \, \text{cm} \] Bước 2: Đặt ẩn và điều kiện Giả sử mỗi hình vuông cắt ở bốn góc có cạnh là \(x \, \text{cm}\). Khi đó, điều kiện là \(0 < x < 15\) để các cạnh của hình hộp vẫn dương. Bước 3: Biểu thức thể tích của hình hộp chữ nhật Khi cắt và gập lại, kích thước của hình hộp chữ nhật sẽ là: - Chiều dài: \(30 - 2x\) - Chiều rộng: \(30 - 2x\) - Chiều cao: \(x\) Thể tích \(V\) của hình hộp chữ nhật là: \[ V = (30 - 2x)(30 - 2x)x = (30 - 2x)^2 \cdot x \] Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất của thể tích Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số: \[ V(x) = (30 - 2x)^2 \cdot x \] Tính đạo hàm \(V'(x)\): \[ V'(x) = \frac{d}{dx}[(30 - 2x)^2 \cdot x] = 2(30 - 2x)(-2)x + (30 - 2x)^2 \] \[ = -4x(30 - 2x) + (30 - 2x)^2 \] \[ = (30 - 2x)(-4x + 30 - 2x) \] \[ = (30 - 2x)(30 - 6x) \] Giải phương trình \(V'(x) = 0\): \[ (30 - 2x)(30 - 6x) = 0 \] Ta có hai nghiệm: 1. \(30 - 2x = 0 \Rightarrow x = 15\) (loại vì không thỏa mãn điều kiện \(x < 15\)) 2. \(30 - 6x = 0 \Rightarrow x = 5\) Bước 5: Kiểm tra giá trị lớn nhất Ta kiểm tra giá trị của \(V(x)\) tại \(x = 5\) và các giá trị biên \(x = 0\) và \(x = 15\). - \(V(5) = (30 - 2 \times 5)^2 \times 5 = 20^2 \times 5 = 2000 \, \text{cm}^3\) - \(V(0) = 0\) - \(V(15)\) không xét vì không thỏa mãn điều kiện. Vậy, thể tích lớn nhất của hình hộp chữ nhật là \(2000 \, \text{cm}^3\), đạt được khi \(x = 5 \, \text{cm}\). Câu 2: Quãng đường vật chuyển động được sau khoảng thời gian 3 giây là: $s(3)=-\frac{1}{3}\cdot 3^3+6\cdot 3^2=45(m)$ Câu 3: Để giải bài toán này, ta cần phân tích đồ thị của hàm số \( y = \frac{ax-b}{x-1} \). Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) Hàm số xác định khi mẫu số khác 0, tức là: \[ x - 1 \neq 0 \] Vậy, \( x \neq 1 \). Bước 2: Xác định tiệm cận đứng Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0, tức là tại \( x = 1 \). Đồ thị cho thấy có một tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). Bước 3: Xác định tiệm cận ngang Để tìm tiệm cận ngang, ta xét giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{ax-b}{x-1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{a - \frac{b}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = a \] Đồ thị cho thấy có một tiệm cận ngang tại \( y = -1 \). Do đó, \( a = -1 \). Bước 4: Xác định giá trị của \( b \) Đồ thị cắt trục tung tại điểm \( y = 2 \) khi \( x = 0 \). Thay vào hàm số: \[ y = \frac{a \cdot 0 - b}{0 - 1} = \frac{-b}{-1} = b \] Vậy, \( b = 2 \). Kết luận Hàm số có dạng: \[ y = \frac{-x - 2}{x-1} \] Vậy, các giá trị của \( a \) và \( b \) là \( a = -1 \) và \( b = 2 \).